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ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES EN EL PROCESAMIENTO DIGITAL
DE IMÁGENES, ASOCIADA A LA MEDICIÓNINTERFEROMÉTRICA DE
DESVÍO DE PLANITUD

ESTIMATION OF UNCERTAINTIES ASSOCIATED WITH
INTERFEROMETRIC MEASUREMENT OF FLATNESS BY MEANS OF
DIGITAL IMAGE PROCESSING
F.YAPUR, L.ALVAREZ, K. BASTIDA
Inst i tu to Naciona l de Tecnología Indust r ia l ( INTI)
e-mai l : f yapur@int i .gob .ar

R e c i b i d o : 1 5 / 1 2 / 1 2 ; A c e p t a d o : 0 8 / 0 7 / 1 3
El método de medición de desvío de planitud consiste en la comparación entre una superficie de referencia o patrón y la
superficie de prueba a calibrar. En INTI – Física y Metrología, esta medición se realiza utilizando un interferómetro de
Fizeau y con el objeto de automatizar el método de calibración, se diseñó una rutina basada en procesamiento digital de
imágenes. En este trabajo se presenta un estudio estadístico aplicando método de Monte Carlo que permite analizar las
incertidumbres y la repetibilidad asociadas al mencionado procesamiento. Por otro lado también se consideran las
influencias de las condiciones ambientales tales como temperatura, presión y humedad en el método de medición. Los
resultados del desvío de planitud y su incertidumbre obtenidos se encuadran en el intervalo establecido por calibraciones
previas. A su vez este trabajo proporciona un método de verificación de las superficies patrón que se utilizan actualmente
en INTI-Física y Metrología para la calibración de desvío de planitud, lo que permitió extender su período de calibración.
Palabras Claves: desvío de planitud, interferómetro de Fizeau, metrología dimensional, método de Monte Carlo,
incertidumbre de medición.
The flatness deviation measurement method is based in the comparison between a reference surface and the test surface
or pattern to calibrate. In INTI – Física y Metrología, this measurement is performed by using a Fizeau interferometer.
In order to build up a system of automation for the calibration method, we designed a routine based on digital image
processing. This paper presents a statistical study using Monte Carlo method to analyze the uncertainties and the
repeatability associated. On the other hand we consider the influences of ambient conditions on the experimental setup,
such as temperature, pressure and moisture. The results of flatness deviation and its uncertainties obtained are agree with
the range established by previous calibrations. This work provides a method for testing the flatness standard currently
used in INTI-Física y Metrología for flatness calibration, allowing extends its calibration period.
Key Word: flatness measurement, Fizeau interferometer, dimensional metrology, Monte Carlo method, measurement
uncertainty.

I. INTRODUCCIÓN
En metrología, la medición del desvío en
planitud de una superficie es de suma importancia en la
calidad de fabricación de espejos, lentes, fibras ópticas,
micrómetros, etc., ya que numerosas ramas de la industria
necesitan de estos insumos. Por lo tanto, una de las líneas
de trabajo dentro de INTI -Física y Metrología, es la
medición del desvío en planitud y la calibración de
Planos Ópticos, así como también el desarrollo de ciencia
y tecnología aplicada a esta área de la óptica.
El desvío en planitud de una superficie es una
magnitud relativa, y por lo tanto, es necesaria una
superficie patrón o Plano Óptico para este mesurando. Un
Plano Óptico es un disco de cristal, con una o ambas caras
pulidas, cuyo desvío en planitud es del orden de los nm.
Se utilizan iluminándolos con una luz monocromática
para determinar por interferencia la planitud de otras
superficies ópticas, cuyo desvío es mayor.


Existen varios métodos para la
calibración de planos ópticos, pero solo nos
centraremos en uno de ellos. Este método utiliza
un plano óptico de referencia y un interferómetro
de Fizeau para realizar la medición.
Descripción del interferómetro de Fizeau
El dispositivo usado en este trabajo para
medir el desvío en planitud (ξ) es un
interferómetro de Fizeau
(1)
, como el que se
esquematiza en la Figura 1.

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DH
Figura 1. Esquema del interferómetro de Fizeau, donde r es la
superficie de referencia, p es la superficie a calibrar, ξ es el
desvío en planitud, DH divisor de haz, LC lente colimadora, POR
plano óptico referencia, POP plano óptico de prueba, CCD
cámara.
La fuente de luz utilizada es un láser He-Ne de 2 mW
de potencia y 632,82 nm de longitud de onda. Se hace pasar
al haz por un filtro espacial, formado por un objetivo de
microscopio de 4 mm de foco y un pinhole de 10 μm de
diámetro. Luego el haz filtrado pasa por una lente
colimadora de 250 mm de foco, que forma un sistema
confocal con el objetivo de microscopio. El haz sale
paralelo y se refleja en los cristales ópticos. Estos están
montados sobre soportes con tornillos de paso fino. Este
montaje permite alinear las dos superficies, de tal manera
que las reflexiones en la segunda cara del plano óptico de
referencia (POR) y en la primera cara del plano óptico de
prueba (POP) coincidan, para luego se dirigidas mediante
un divisor de haz a una cámara CCD de 1396x1040 pixeles.
Las demás reflexiones son desviadas por la falta de
paralelismo de los cristales de interferencia. Así se obtiene
un interferograma que será procesado mediante un
software de procesamiento digital de imágenes.
Modelo matemático
La medición del desvío en planitud viene dada por
una comparación entre una superficie de referencia,
idealmente plana, y la superficie de prueba cuyo desvío en
planitud es mayor. La información es registrada por la
cámara CCD como intensidad luminosa, este registro es el
interferograma. Las diferencias de caminos opticos (DCO)
entre las dos caras generan las franjas de interferencia; si
ambas superficies fueran perfectamente planas no se
formarían franjas. Por lo tanto dentro del interferograma
esta la información del desvío de una superficie con
respecto a la otra.
Mediante la teoría
(1)
, podemos obtener el desvío en
planitud de la superficie de prueba mediante el análisis del
interferograma, donde está involucrada la interfranja
(I) que es la distancia entre centros de franjas, la flecha
(F) o cuerda que es el máximo apartamiento de una franja
con respecto a la vertical y la longitud de onda del láser
(λ):


m (1)
I 22
La Ec. (1) muestra como se relacionan estas
magnitudes. Se eligió trabajar con la razón (m) entre F e I
para evitar la correlación entre estas dos magnitudes.

Método de Monte Carlo
Para evaluar las incertidumbres asociadas al
procesamiento digital de imágenes se decidió trabajar con
el método de simulación numérica llamado Monte Carlo
(2)
.
Este método consiste en identificar las variables que
participan del modelo, en este caso m y λ. Luego de realizar
una serie de n mediciones de cada variable (mn, λn), se
obtienen en ambos casos, las distribuciones, valores
medios y desviaciones estándar. Luego se generan
numéricamente dos series de N (N>>n) datos (mN, λN) que
responden a las distribuciones medidas. Estos datos se
ingresan en el modelo y se obtienen N resultados (ξN) con
los cuales se realiza un histograma obteniendo la
desviación estándar del método de medición. En la Fig. 2
vemos un esquema del método
Figura 2. Esquema que ilustra el funcionamiento del método de
Monte Carlo
II. DESARROLLO EXPERIMENTAL
El interferómetro fue montado en una mesa
antivibratoria. Una vez alineado, se realizaron pruebas de
estabilidad en función de la temperatura, presión y
humedad. Se concluyó que las variaciones en temperatura
eran la principal causa de inestabilidad, por lo tanto se optó
por trabajar en un rango de temperatura de (20,2 + 0,5) ºC.
Se estudió la estabilidad temporal de láser mediante
varianza de Allan
(3)
, y se fijó un intervalo de 60 s para
adquirir las imágenes.
Se midió la longitud de onda del láser usado
mediante un método de batidos
(4)
y se obtuvo λ= (632,82 +
0,01) nm.
Se eligieron dos cristales de interferencia
calibrados en el PTB contra un espejo de mercurio, cuyas
dimensiones son de 51 mm de diámetro y 16 mm de
espesor. Teniendo en cuenta los certificados de los planos
ópticos, se eligió el de menor desvío como plano de
referencia y el de mayor desvío como cristal de prueba.
Una vez montados y alineados los planos ópticos, se
tomaron a lo largo de 3 días 1200 interferogramas
divididos en 4 series de 300, cada serie con distinta
cantidad de franjas: 4, 7, 9 y 12. Esto se logró variando el
ángulo de la cuña formada entre las dos superficies
mediante los tornillos de paso fino.
Procesamiento digital de imágenes
El análisis de las secuencias de interferogramas
se realizó mediante un algoritmo de procesamiento digital
de imágenes, que fue exclusivamente diseñado para este

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trabajo bajo entorno Visual Basic. A partir de este
procesamiento se obtienen F e I en forma automática para
cada serie de interferogramas. El esquema general del
algoritmo consta de la secuencia que se muestra en la
Figura 3.

Figura 3. Secuencia que muestra el procesamiento digital de
imágenes para el cálculo de F e I.
Primero se aplica un filtro mediante transformada de
Fourier, luego se binariza la imagen y se rota hasta que las
franjas queden perpendiculares a la horizontal, se
encuentran los centros de las franjas (cruz blanca) y los
puntos mas alejados de la vertical (cruz roja). Por último se
calcula F e I.
Los resultados de las mediciones de λ y m se pueden
ver en la tabla 1.

Tabla 1: Resultado de mediciones experimentales de λ y m.
III. RESULTADOS
Desvío en planitud
En la Figura 4 se muestran las mediciones realizadas
para la obtención del desvío en planitud haciendo uso de la
ec. (1).
Figura 4. Determinación de ξp a partir de la relación F e I
mediante una regresión lineal.
En este caso la evaluación de la incertidumbre se realiza
siguiendo la ley de propagación de incertidumbres que
establece la GUM
(5)
, con lo cual se obtiene una
incertidumbre asociada al procesamiento de 6 nm para un
factor de cobertura k=1. Por lo tanto, sumando en
cuadratura la incertidumbre asociada al plano óptico patrón
informada por su certificado de 10 nm, se tiene que ξp =
(70 + 24) nm para k=2.

Estimación de incertidumbres mediante Monte
Carlo
Con los datos experimentales de m y λ que se
muestran en la tabla 1 se realizaron en entorno MATLAB
dos simulaciones numéricas (con sus respectivas
distribuciones) con un muestreo de 10^5 para cada una.
Luego mediante la Ec 1. se obtuvieron los valores del
desvío y se realizó el histograma que vemos en la Figura 5.
Figura 5. Histograma del desvío en planitud obtenido mediante
la simulación numérica por Monte Carlo.
Del histograma se obtiene una incertidumbre de 9 nm para
k=1. Sumando en cuadratura la incertidumbre del plano
óptico patrón de 10 nm, se tiene que el desvío calculado
mediante Monte Carlo es ξp = (64 + 26) nm para k=2.
IV. CONCLUSIONES
En este trabajo se montó y alineó un
interferómetro de Fizeau. Esto permitió el registro de
interferogramas con nitidez, contraste y resolución
necesarias para su posterior procesamiento. Así mismo, se
desarrolló un algoritmo que permitió automatizar el
procesamiento digital de imágenes, y así obtener el desvío
en planitud.
Con el objetivo de validar mediante el Método de
Monte Carlo el modelo matemático utilizado, se realizó un
estudio estadístico de las variables de influencia, a fin de
conocer sus distribuciones de probabilidad. El resultado
obtenido por el método de Monte Carlo para el cálculo de
la incertidumbre asociada al procesamiento digital de
imágenes, es consistente con lo obtenido siguiendo los
lineamientos de la GUM. Esto valida el modelo empleado
para la determinación del desvío en planitud.
Como corolario de este trabajo, se han verificado
las superficies patrón que se utilizan actualmente en INTI-
Física y Metrología para la calibración del desvío en
planitud, lo que permite extender su período de calibración.
Esto forma parte del plan de mantenimiento de patrones
que realiza INTI – Física y Metrología.


Nº de Distribución Valor medio e
mediciones incertidumbre
λ 65000 rectangular <λ> = 632,82 nm σλ
= 0,01 nm
m 1200 normal <m> = 0,20 σm =
0,03

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V. AGRADECIMIENTOS
Queremos agradecer la xolaboración en este trabajo a
todos los compañeros de Física y Metrología en especial a
la UT-Óptica, así como también a E. Scatena, D. Luna, A.
Zinzallari y M. Nicola.
Vl. REFERENCIAS
1-Daniel Malacara, Optical Shop Testing, Wiley &
Sons, Inc., Publication. New Jersey (2007).
2-JCGM 101:2008 Evaluation of measurement data –
Supplement 1 to the GUM – Propagation of
distributions using Monte Carlo method.
3-W. J. Riley. Handbook of Frecuency Stability
Analisys. Nist Special Publication. 1065,
(2008).
4-Mingolla G., Alvarez J., Bastida K.. Calibración de
frecuencias ópticas por sistemas de batidos.
Anales AFA, 20, 48-52 (2008).
5-JCGM 100:2008 Evaluation of measurement data –
Guide to the expression of uncertainty in
measurement.