Incertidumbre por Desadaptaci on en RF -
Parte 2
H. Silva
G. Monasterios
A. Henze
N. Tempone
Lab. Metrolog a RF & Microondas, INTI
http://www.inti.gov.ar/electronicaeinformatica/metrologiarf
metrologiarf@inti.gov.ar
Mayo 2012 (rev. 08/2012)

Lab. Metrolog a RF & Microondas - INTI
Indice
1. Introducci on 2
2. An alisis del factor de mismatch M 3
2.1. Esperanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.1. C alculo Anal tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.2. M etodo GUM. Aproximaci on Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3. Validaci on del M etodo. Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3. An alisis del factor de mismatch MM 7
3.1. Esperanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2. Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.1. C alculo Anal tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.2. M etodo GUM. Aproximaci on Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3. Validaci on del M etodo. Monte Carlo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4. Conclusiones 13
5. Ejemplos 14
5.1. Ejemplo: Medici on de potencia absoluta - Generador RF nivelado . . . . . . . . . . . 14
5.1.1. Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.1.2. Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.1.3. Comparaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2. Ejemplo: Medici on de Potencia Relativa - Atenuaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Bibliograf a 21
1

Lab. Metrolog a RF & Microondas - INTI
1. Introducci on
En las mediciones de potencia incidente de un generador de RF se de ne el factor de desadaptaci on
o mismatch M [2] como:
M =
1
j1 G Lj2
(1)
donde G es el coe ciente de re exi on del generador de se~nal y L el coe ciente de re exi on del
sensor de potencia conectado al generador.
Cuando no se dispone de la informaci on de fase de uno o ambos coe cientes de re exi on, no es
posible corregir M en la medici on de potencia, debiendo asumir de esta manera que M = 1 con
una incertidumbre asociada [1].
En este trabajo se presenta un m etodo para cuanti car M y su incertidumbre asociada cuando se
conoce en forma simult anea el m odulo y la fase (o parte real e imaginaria) de ambos coe cientes
de re exi on en (1).
Al conocer en forma completa ambos coe cientes, se puede dejar de considerar que M = 1 y
calcular su valor exacto, corregiendo el resultado de la medici on. De esta manera ya no es necesario
asumir \a priori" (seg un [1]) que cada uno de los coe cientes de re exi on tiene un valor \Espera-
do" nulo y por lo tanto una regi on de incertidumbre del coe ciente de re exi on centrada en el origen.
Lo mismo sucede con el factor de mismatch MM , que aparece durante la calibraci on de senso-
res de potencia por el m etodo de comparaci on directa [3] cuando se expresa el factor de calibraci on
del sensor bajo prueba (DUT) en funci on del factor de calibraci on del sensor patr on. La expresi on
anal tica de MM es:
MM =
j1 G DUT j2
j1 G STDj2
(2)
El factor MM depende de 3 coe cientes de re exi on, por lo tanto en funci on de la informaci on
de las fases disponible puede calcularse el valor de MM en forma parcial (solo el numerador o
el denominador) o en forma total (numerador y denominador). Adem as, como el numerador y el
denominador tienen un coe ciente en com un, debe tenerse en cuenta la correlaci on entre ambos en
la estimaci on de las incertidumbres de MM .
2

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2. An alisis del factor de mismatch M
2.1. Esperanza
Se utilizan letras may usculas (X, Y ) para designar a las variables aleatorias correspondientes a las
componentes real e imaginaria de = x+ jy.
Sean:
G = x1 + jy1 (3)
L = x2 + jy2 (4)
G L = (x1x2 y1y2) + j(x1y2 + x2y1) (5)
Asumiendo que todas las componentes reales e imaginarias de (3) y (4) son independientes entre
s , la esperanza matem atica es:
E( G L) = (E(X1)E(X2) E(Y1)E(Y2)) + j(E(X1)E(Y2) + E(X2)E(Y1))
= ( X1 X2 Y1 Y2) + j( X1 Y2 + X2 Y1) (6)
En esta expresi on X e Y representan los valores medios de las variables real e imaginaria de los
coe cientes de re exi on. Este valor medio corresponde al valor resultante de la medici on de dichos
par ametros.
El valor de M puede aproximarse por la expresi on:
M 1 + 2 <e( G L) (7)
Finalmente utilizando (6) y (7) la esperanza del factor M resulta:
E(M) = 1 + 2 ( X1 X2 Y1 Y2) (8)
La ecuaci on (8) indica que para poder calcular un valor de la esperanza matem atica de M que luego
permita corregir el error por medici on de potencia, debemos conocer el valor real e imaginario de
ambos coe cientes de re exi on.
Si el valor de la fase de alguno o ambos coe cientes es desconocido y por lo tanto se asume \a
priori" que dichos coe cientes de re exi on tienen un valor \esperado" nulo, entonces la esperanza
matem atica de M es igual a uno lo que no permite efectuar la correcci on por mismatch.
3

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2.2. Varianza
2.2.1. C alculo Anal tico
2(<e( G L)) = E(<e( G L)
2) E(<e( G L))
2
= E((x1x2 y1y2)
2) (E(x1x2 y1y2))
2
= X1
2 X2
2 2( X1 X2 Y1 Y2) + Y1
2 Y2
2 ( X1 X2 Y1 Y2)
2 (9)
Considerando que para una variable aleatoria X se cumple que:
E(X2) = 2X + E(X)
2 (10)
entonces reemplazando en (9) y operando:
2<e( G L)) =
2(X1)
2(X2) + Y2
2 2(Y1) + X1
2 2(X2) + X2
2 2(X1) +
2(Y1)
2(Y2) + Y1
2 2(Y2)
(11)
Para cada coe ciente de re exi on medido se asume que las varianzas de las componentes real e
imaginaria son iguales entre s , debido al modelo adoptado para la estimaci on de incertidumbres
en la medici on del coe ciente de re exi on [4][5]:
2G =
2(X1) =
2(Y1) (12)
2L =
2(X2) =
2(Y2) (13)
operando algebraicamente se tiene:
2(<e( G L)) = 2
2
G
2
L +
2
G( X
2
2 + Y
2
2 ) +
2
L( X
2
1 + Y
2
1 ) (14)
2(<e( G L)) = 2
2
G
2
L + j Lj
2 2G + j Gj
2 2L (15)
Se puede distinguir en la expresi on (15) una parte no lineal respecto a las varianzas (primer t ermino)
y una parte lineal respecto a las mismas (segundo y tercer t ermino).
Finalmente, aplicando (15) en (7) la varianza de M resulta:
2(M) = 4 2(<e( G L)) = 8
2
G
2
L + 4j Lj
2 2G + 4j Gj
2 2L (16)
4

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2.2.2. M etodo GUM. Aproximaci on Lineal
Para veri car la expresi on de la varianza del factor de mismatch M obtenida en la secci on 2.2.1,
se procede a calcularla nuevamente siguiendo la metodolog a de la GUM [12], para comparar los
resultados obtenidos con los anal ticos. Cabe se~nalar que la GUM utiliza una aproximaci on en serie
de Taylor de primer orden para el c alculo de la varianza del mesurando, donde los coe cientes de
cada t ermino lineal, son las derivadas parciales de la expresi on a analizar.
Partiendo de la expresi on (5) se tiene que la parte real de G L es:
<e( G L) = x1x2 y1y2 (17)
Las derivadas parciales en el punto de trabajo son:




@ <e( G L)
@ x1



=
X2 (18)




@ <e( G L)
@ y1



=
Y2 (19)




@ <e( G L)
@ x2



=
X1 (20)




@ <e( G L)
@ y2



=
Y1 (21)
Por lo tanto,
2<ef G Lg = X2
2 2G + Y2
2 2G + X1
2 2L + Y1
2 2L (22)
donde se han tenido las mismas consideraciones que en (12) y (13). Introduciendo el m odulo de
ambos coe cientes de re exi on en (22) queda:
2(<e( G L)) = j Lj
2 2G + j Gj
2 2L (23)
Finalmente, aplicando (23) en (7) la varianza de M resulta:
2(M) = 4 2(<e( G L)) = 4j Lj
2 2G + 4j Gj
2 2L (24)
5

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Es interesante notar que tanto la expresi on (24) analizada mediante la GUM como la expresi on (16)
alcanzada anal ticamente coinciden en los t erminos lineales. La GUM siempre llega a un resultado
para el c alculo de incertidumbres que es una aproximaci on lineal, en cambio el c alculo anal tico, al
no tener esta restricci on, llega a una expresi on m as exacta.
2.3. Validaci on del M etodo. Monte Carlo
En esta secci on se comparan los valores de la varianza de M que se obtienen utilizando la expresi on
anal tica (16) y la aproximaci on lineal siguiendo la metodolog a de la GUM (24), con los resultados
que se obtienen con una simulaci on de Monte Carlo.
La simulaci on de Monte Carlo se realiza con 106 muestras, asignando una distribuci on gaussiana
bivariada a los coe cientes de re exi on donde j Gj = j Lj.
En la Tabla 1 se muestra un caso donde el desv o standard de las componentes de G y L es bajo
( G = L = 5 mU). Se observa buena coincidencia de ambas expresiones con los resultados de la
simulaci on por Monte Carlo. Las diferencias m aximas entre ambas no superan valores de 0; 007 %,
disminuyendo a un m as a medida que aumenta j Gj = j Lj
j Gj = j Lj
(M) Expresi on Anal tica (M) GUM (M) Monte Carlo Dif M ax (M)
10 3 10 3 10 3 [ %]
’ 0 0; 0707 0 0; 0704 0; 007
0,02 0; 292 0; 283 0; 291 0; 0009
0,04 0; 570 0; 566 0; 570 0; 0004
0,06 0; 852 0; 849 0; 880 0; 0003
0,08 1; 13 1; 13 1; 15 < 0; 001
0,1 1; 42 1; 41 1; 49 0; 001
Tabla 1: Veri caci on de las expresiones de mismatch por el m etodo de Monte Carlo, con G = L=0,005
En la Tabla 2 se incrementa el valor del desv o standard de las componentes de G y L a
G = L = 10 mU. Se observan los mismos efectos que en el caso anterior con diferencias m aximas
entre ambas que no superan valores de 0; 028 %.
En la Tabla 3 se incrementa el valor del desv o standard de las componentes de G y L a
G = L = 100 mU. Se observa que el t ermino alineal de la expresi on anal tica cobra mayor
peso y se registran diferencias sustanciales entre ambas expresiones con diferencias que llegan hasta
2; 83 %. Adem as los valores de la varianza de M obtenidos con la expresi on anal tica mantienen
una buena coincidencia con las simulaciones.
6

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j Gj = j Lj
(M) Expresi on Anal tica (M) GUM (M) Monte Carlo Dif M ax (M)
10 3 10 3 10 3 [ %]
’ 0 0; 283 0 0; 278 0; 028
0,02 0; 633 0; 566 0; 629 0; 007
0,04 1; 17 1; 13 1; 16 0; 004
0,06 1; 72 1; 70 1; 76 0; 002
0,08 2; 28 2; 26 2; 35 0; 002
0,1 2; 84 2; 83 2; 91 0; 001
Tabla 2: Veri caci on de las expresiones de mismatch por el m etodo de Monte Carlo, con G = L=0,01
j Gj = j Lj
(M) Expresi on Anal tica (M) GUM (M) Monte Carlo Dif M ax (M)
10 3 10 3 10 3 [ %]
’ 0 28; 3 0 27; 4 2; 83
0,02 28; 8 5; 66 28; 8 2; 31
0,04 30; 5 11; 3 30; 7 1; 92
0,06 33; 0 17; 0 33; 3 1; 60
0,08 36; 2 22; 6 37; 0 1; 36
0,1 40; 0 28; 3 42; 1 1; 70
Tabla 3: Veri caci on de las expresiones de mismatch por el m etodo de Monte Carlo, con G = L=0,1
3. An alisis del factor de mismatch MM
3.1. Esperanza
Si se asume que los valores de los distintos coe cientes de re exi on presentes en (2) son bajos (que
es lo que occurre generalmente en la pr actica), entonces se puede aproximar MM por medio de las
siguientes expresiones:
MM =
j1 G DUT j2
j1 G STDj2
’
(1 2 <e( G DUT ))
(1 2 <e( G STD))
’ (1 2 <e( G DUT )) (1 + 2 <e( G STD))
’ 1 + 2 <e( G STD) 2 <e( G DUT ) (25)
7

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donde:
G = x1 + jy1 (26)
DUT = x2 + jy2 (27)
STD = x3 + jy3 (28)
Para calcular la esperanza matem atica de (25) se aplica (6) a los dos ulimos t erminos de (25):
E(MM) = 1 + 2 ( X1 X3 Y1 Y3) 2 ( X1 X2 Y1 Y2) (29)
A diferencia del factor M estudiado en la secci on 2 se observa que la esperanza de MM tambi en
puede ser calculada en forma parcial cuando se conoce solamente la informaci on de fase de algunos
de los coe cientes involucrados.
Por ejemplo, si se dispone de los valores de las componentes real e imaginaria de G y DUT
pero se desconoce la fase de STD, entonces el valor esperado para este ultimo coe ciente debe ser
considerado \a priori" igual a cero. Dicha adopci on trae como consecuencia que pueda calcularse
el valor del tercer t ermino de (29) pero no el del segundo t ermino. Por lo tanto, este ultimo se hace
nulo y pasa a formar parte de la incertidumbre del factor MM .
3.2. Varianza
3.2.1. C alculo Anal tico
La varianza total de (25) se calcula seg un la siguiente expresi on:
2(MM) = 2 (1 + 2 <e( G STD) 2 <e( G DUT ))
= 4 2 (<e( G STD)) + 4
2 (<e( G DUT )) 8 cov (<e( G STD);<e( G DUT )) (30)
El c alculo de la varianza de los dos primeros t erminos de (30) ya ha sido desarrollado en la secci on
2.2.1. Utilizando la expresi on (15) y teniendo en cuenta que cada coe ciente de re exi on posee las
varianzas de las componentes real e imaginaria iguales entre s , se obtiene:
2 (<e( G STD)) = 2
2
G
2
STD + j STDj
2 2G + j Gj
2 2STD (31)
2 (<e( G DUT )) = 2
2
G
2
DUT + j DUT j
2 2G + j Gj
2 2DUT (32)
donde:
2G =
2(X1) =
2(Y1) (33)
8

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2DUT =
2(X2) =
2(Y2) (34)
2STD =
2(X3) =
2(Y3) (35)
Para nalizar el c alculo de la varianza de (30) debemos calcular el t ermino de covarianza. Teniendo
en cuenta la siguiente propiedad de la covarianza:
cov (<e( G STD);<e( G DUT )) =E (<e( G STD): <e( G DUT ))
E (<e( G STD)) :E (<e( G DUT ))
(36)
Utilizando la expresi on (5) y las de niciones de (26) a (28) se tiene que:
<e( G STD) = x1: x3 y1: y3 (37)
<e( G DUT ) = x1: x2 y1: y2 (38)
Por medio de (6) y asumiendo que todas las componentes reales e imaginarias de (26) a (28) son
independientes entre s :
E (<e( G STD))) = X1 X3 Y1 Y3 (39)
E (<e( G DUT ))) = X1 X2 Y1 Y2 (40)
Ya se ha resuelto el segundo t ermino de (36). Para resolver el primer t ermino:
<e( G STD):<e( G DUT ) = (x1: x3 y1: y3):(x1: x2 y1: y2)
= x21 x3 x2 x1 y1 x3 y2 x1 y1 y3 x2 + y
2
1 y3 y2 (41)
De la misma forma que en (5) y (6) se procede a calcular la esperanza de (41):
E (<e( G STD): <e( G DUT )) =E(X
2
1 ) X3 X2 X1 Y1 X3 Y2
X1 Y1 Y3 X2 + E(Y
2
1 ) Y3 Y2
(42)
Reemplazando (10) en (42):
E (<e( G STD): <e( G DUT )) =

2(X1) + E(X1)
2 X3 X2 X1 Y1 X3 Y2
X1 Y1 Y3 X2 +

2(Y1) + E(Y1)
2 Y3 Y2
(43)
9

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Finalmente, por medio de (39), (40) y (43), podemos expresar el t ermino de covarianza de (30):
cov (<e( G STD);<e( G DUT )) =

2(X1) + X
2
1

X3 X2 X1 Y1 X3 Y2
X1 Y1 Y3 X2 +

2(Y1) + Y
2
1

Y3 Y2


( X1 X3 Y1 Y3):( X1 X2 Y1 Y2)

(44)
Operando algebraicamente y teniendo siempre en cuenta que cada coe ciente de re exi on posee las
varianzas de las componentes real e imaginaria iguales entre s , la expresi on (44) se reduce a:
cov (<e( G STD);<e( G DUT )) =
2
G

X3 X2 + Y3 Y2

(45)
Ahora es posible expresar en forma completa la varianza de MM . Por medio de (30), (31), (32) y
(45) se obtiene:
2(MM) =4

2 2G
2
STD + j STDj
2 2G + j Gj
2 2STD

+ 4

2 2G
2
DUT + j DUT j
2 2G + j Gj
2 2DUT

8

2G( X3 X2 + Y3 Y2)

2(MM) = 8 2G
2
STD + 4j STDj
2 2G + 4j Gj
2 2STD + 8
2
G
2
DUT + 4j DUT j
2 2G + 4j Gj
2 2DUT
8 2G( X3 X2 + Y3 Y2)
(46)
3.2.2. M etodo GUM. Aproximaci on Lineal
Para veri car la expresi on de la varianza del factor de mismatch MM reci en desarrollada, se proce-
de a calcularla nuevamente siguiendo la metodolog a de la GUM [12]. En el suplemento 2 de dicha
gu a [13] se detalla la siguiente expresi on matricial:
Uy = Cx:Ux:C
T
x (47)
En esta ecuaci on, Ux corresponde a la matriz covarianza de entrada. Para el caso de MM , asu-
miendo siempre que todas las componentes reales e imaginarias de (26) a (28) son independientes
entre s y que las varianzas de las componentes real e imaginaria son iguales:
Ux =
0
B
B
B
B
B
B
@
21 0 0 0 0 0
0 21 0 0 0 0
0 0 22 0 0 0
0 0 0 22 0 0
0 0 0 0 23 0
0 0 0 0 0 23
1
C
C
C
C
C
C
A
(48)
10

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Uy corresponde a 2(MM) la cual es una magnitud unidimensional.
La matriz Cx, al ser la salida unidimensional, corresponde a un vector traspuesto que incluye los
coe cientes de sensibilidad de la siguiente forma:
Cx =

@MM
@x1
@MM
@y1
@MM
@x2
@MM
@y2
@MM
@x3
@MM
@y3

(49)
Utilizando la expresi on aproximada de MM (25) se obtienen las derivadas parciales de (49). A su
vez estas derivadas parciales est an evaluadas en el punto de trabajo:
@MM
@x1
= 2 X2 + 2 X3
@MM
@y1
= 2 Y2 2 Y3
@MM
@x2
= 2 X1
@MM
@y2
= 2 Y1
@MM
@x3
= 2 X1
@MM
@y3
= 2 Y1 (50)
Resolviendo (47) con (48) y (49) se obtiene:
2(MM) = 4

j STDj
2 2G + j Gj
2 2STD

+ 4

j DUT j
2 2G + j Gj
2 2DUT

8

2G( X3 X2 + Y3 Y2)

2(MM) = 4j STDj
2 2G + 4j Gj
2 2STD + 4j DUT j
2 2G + 4j Gj
2 2DUT 8
2
G( X3 X2 + Y3 Y2) (51)
Se observa que la expresi on (51) di ere de (46) en que la primera no posee los t erminos no lineales
respecto a las varianzas. Esta diferencia ya se hab a encontrado cuando se compar o la varianza del
factor M obtenida en forma anal tica (16) y mediante el m etodo GUM (24).
Por lo tanto, al igual que con el calculo de 2(M), el m etodo de la GUM llega a un resultado
para el c alculo de incertidumbres que es una aproximaci on lineal respecto a las varianzas de las
variables de entrada. En cambio, el c alculo anal tico, al no tener esta restricci on, llega a una expre-
si on m as exacta.
11

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3.3. Validaci on del M etodo. Monte Carlo.
En esta secci on se comparan los valores de la varianza de MM que se obtienen utilizando la ex-
presion anal tica (46) y la aproximaci on lineal siguiendo la metodolog a de la GUM (51), con los
resultados que se obtienen con una simulaci on de Monte Carlo.
Al igual que en la secci on 2.3 la comparaci on entre los resultados de las expresiones de MM se
hace mediante tablas y la simulaci on de Monte Carlo se realiza con 106 muestras, asignando una
distribuci on gaussiana bivariada a los coe cientes de re exi on donde j Gj = j DUT j = j STDj.
En la Tabla 4 se muestra un caso donde el desv o standard de las componentes de G, DUT y STD
es bajo ( G = DUT = STD = 5 mU). Se observa buena coincidencia de ambas expresiones con
los resultados de la simulaci on por Monte Carlo. Las diferencias m aximas entre ambas no superan
valores de 0; 01 %, disminuyendo a un m as a medida que aumenta j Gj = j DUT j = j STDj
j Gj = j Lj
(MM) Expresi on Anal tica (MM) GUM (MM) Monte Carlo Dif M ax (MM)
10 3 10 3 10 3 [ %]
’ 0 0; 100 0 0; 0973 0; 010
0,02 0; 300 0; 283 0; 300 0; 0017
0,04 0; 575 0; 566 0; 571 0; 0009
0,06 0; 854 0; 849 0; 863 0; 0005
0,08 1; 14 1; 13 1; 13 0; 001
0,1 1; 42 1; 41 1; 41 0; 001
Tabla 4: Veri caci on de las expresiones de mismatch por el m etodo de Monte Carlo, con G = DUT =
STD=0,005
En la Tabla 5 se incrementa el valor del desv o standard de las componentes de G, DUT y STD a
G = DUT = STD = 10 mU. Se observan los mismos efectos que en el caso anterior con diferencias
m aximas entre ambas que no superan valores de 0; 04 %.
j Gj = j Lj
(MM) Expresi on Anal tica (MM) GUM (MM) Monte Carlo Dif M ax (MM)
10 3 10 3 10 3 [ %]
’ 0 0; 400 0 0; 410 0; 040
0,02 0; 693 0; 566 0; 688 0; 013
0,04 1; 20 1; 13 1; 19 0; 007
0,06 1; 74 1; 70 1; 76 0; 004
0,08 2; 30 2; 26 2; 29 0; 004
0,1 2; 86 2; 83 2; 89 0; 003
Tabla 5: Veri caci on de las expresiones de mismatch por el m etodo de Monte Carlo, con G = DUT =
STD=0,01
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En la Tabla 6 se incrementa el valor del desv o standard de las componentes de G, DUT y STD
a G = DUT = STD = 100 mU. Se observa que los t erminos alineales de la expresi on anal tica
cobran mayor peso y se registran diferencias sustanciales entre ambas expresiones con diferencias
que llegan hasta 4 %. Adem as los valores de la varianza de MM obtenidos con la expresi on anal tica
mantienen una buena coincidencia con las simulaciones.
j Gj = j Lj
(MM) Expresi on Anal tica (MM) GUM (MM) Monte Carlo Dif M ax (MM)
10 3 10 3 10 3 [ %]
’ 0 40; 0 0 39; 6 4; 00
0,02 40; 4 5; 66 40; 2 3; 47
0,04 41; 6 11; 3 42; 1 3; 03
0,06 43; 5 17; 0 44; 6 2; 65
0,08 46; 0 22; 6 46; 0 2; 34
0,1 49; 0 28; 3 49; 3 2; 07
Tabla 6: Veri caci on de las expresiones de mismatch por el m etodo de Monte Carlo, con G = DUT =
STD=0,1
4. Conclusiones
En las tablas comparativas de la secciones 2.3 y 3.3 se puede apreciar que si el desv o standard
de las componentes de los coe cientes de re exi on es comparativamente peque~no respecto al valor
de sus m odulos, las expresiones de M y MM obtenidas en forma anal tica y mediante el m etodo
de la GUM obtienen resultados similares y coincidentes con los resultados generados mediante la
simulaci on por Monte Carlo. Sin embargo, cuando el valor del desv o standard de las componentes
de los coe cientes de re exi on aumenta respecto a sus m odulos, el t ermino alineal de la expresi on
anal tica comienza a in uir. En estos casos, se deben utilizar las expresiones (16) y (46) para calcular
correctamente la varianza de M y MM respectivamente. En el resto de los casos, la aproximaci on
lineal siguiendo la metodolog a de la GUM permite obtener un valor adecuado para estimar la
incertidumbre por desadaptaci on.
Los casos vistos en la Primera Parte de este trabajo [1], donde la informaci on disponible no es
completa por desconocimiento de la fase de los coe cientes de re exi on, conducen a un aumento
en la estimaci on de la incertidumbre por mismatch, por medio de las distribuciones Anillo-Anillo,
Disco-Disco y Disco-Anillo.
La utilizaci on de la informaci on de los coe cientes de re exi on involucrados en el factor de mismatch,
reduce la incertidumbre porque no se considera a M o MM solo como una fuente de incertidumbre,
sino que puede calcularse su valor con una incertidumbre asociada mucho menor. En el ejemplo 5.1
se hace un an alisis num erico detallado de estas diferencias.
13

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5. Ejemplos
5.1. Ejemplo: Medici on de potencia absoluta - Generador RF nivelado
Se analiza la medici on de la potencia de la salida de un generador de RF, nivelado mediante un
divisor de potencia. En este caso, el coe ciente de re exi on que percibe el sensor de potencia hacia el
generador es el coe ciente de re exi on equivalente del divisor de potencia [9], dado por la expresi on:
eq = s33 s31
s23
s21
(52)
donde se considera que el puerto de salida es el puerto 3. Se plantean dos casos:
1 S olo se dispone de las especi caciones (valores m aximos) del divisor de potencia y del sensor
de potencia (secci on 5.1.1). En este caso, se debe considerar M = 1.
2 Se dispone de los valores medidos en m odulo y fase tanto para el divisor de potencia como
para el sensor de potencia (secci on 5.1.2). En este caso, es posible calcular un valor de M y
corregir el valor medido.
La medici on de potencia se realiza con un sensor de potencia con coe ciente de re exi on L,
conectado a un medidor de potencia. La potencia medida en el medidor es Pi = 5;77 dBm.
El par ametro de inter es es la potencia PgZo, es decir, la que disipar a una carga ideal de impedancia
Zo, dada por:
PgZo =
Pi
M
= Pi j1 eq Lj
2 (53)
5.1.1. Caso 1
Medidor de potencia
Potencia incidente Pi = 5;77 dBm
Desv o standard (Pi) = 0;05 dB
Divisor de potencia
Marca: Agilent
Modelo: 11667A
Especi caci on @18 GHz: j eqjMAX = 0;141
Sensor de potencia
Marca: Agilent
Modelo: E4412A
Especi caci on @18 GHz: j LjMAX = 0;119
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Figura 1: Esquema de medici on de la salida equivalente de un generador de RF
La varianza total de PgZo se obtiene como:
2(PgZo) = Pg
2
Zo

(Pi)2
P 2i

+ Pg2Zo

(M)2
M2

(54)
Como se mencion o, se debe considerar un valor de M = 1 ( eq = L = 0). Se puede asumir que el
producto eq L tiene una distribuci on Disco/Disco centrada en el origen, dado que se conocen sus
valores m aximos especi cados[1]. Para el caso de una distribuci on de este tipo:
eq =
j eqjMAX
2
(55)
L =
j LjMAX
2
(56)
Por lo tanto, reemplazando en la expresi on (16), se calcula el desv o standard de M como:
(M) =
p
2(M) =
q
8 2eq
2
L + 4 j Lj
2 2eq + 4 j eqj2
2
L = 0;0119 (57)
Entonces, se tienen todos los valores para calcular el resultado de la expresi on (54):
2(PgZo) = 4;045 10
9 W2 (58)
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Por lo tanto,
(PgZo) = 6;360 10
5 W (59)
(PgZo)[ %] =
(PgZo)
PgZo
= 1;68 % (60)
5.1.2. Caso 2
Medidor de potencia
Potencia incidente Pi = 5;77 dBm
Desv o standard (Pi) = 0;05 dB
Divisor de potencia
Marca: Agilent
Modelo: 11667A
Datos de certi cado @18 GHz: j eqj = 0;105; ( eq) = 95 ; eq = 0;0075.
Sensor de potencia
Marca: Agilent
Modelo: E4412A
Datos de certi cado @18 GHz: j Lj = 0;016; ( L) = 46 ; L = 0;065.
En este caso, como se conocen los valores de eq y L, se puede calcular M como:
M =
1
j1 eq Lj2
= 0;9974
Por lo tanto, se corrige el valor correcto de PgZo:
PgZo =
Pi
M
= 3;776 10 3 0;9974 W = 3;766 10 3 W (61)
En la expresi on (16), ahora se deben reemplazar los valores de los coe cientes de re exi on medidos
(sus valores medios ya no son 0). Las varianzas surgen de los certi cados de calibraci on. De esta
manera, el desv o standard de M resulta:
(M) =
p
2(M) =
q
8 2eq
2
L + 4 j Lj
2 2eq + 4 j eqj2
2
L = 0;0014 (62)
Entonces, se tienen todos los valores para calcular el resultado de la expresi on 54:
2(PgZo) = 1;950 10
9 (63)
Por lo tanto,
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(PgZo) = 4;416 10 5 W (64)
(PgZo)[ %] =
(PgZo)
PgZo
= 1;17 % (65)
5.1.3. Comparaci on
En la Tabla 7 se detallan algunos valores importantes de los casos analizados en este ejemplo.
Se puede observar que en el caso 1 el valor de M no se corrige ya que se desconocen los valores
complejos de eq y L. El mayor cambio producido en el caso 2 es la disminuci on de (M), lo
que reduce su contribuci on de 52;7 % a 1;5 %. Esto se ve re ejado en una disminuci on del desv o
standard nal del mesurando (PgZo), de 1;68 % a 1;17 %.
Magnitud Caso 1 Caso 2
eq 0;0705 (distrib. Disco) 0;0075 (distrib. gaussiana)
L 0;0595 (distrib. Disco) 0;0650 (distrib. gaussiana)
M 1 0;9974
(M) 0;0119 0;0014
(PgZo)=PgZo 1;68 % 1;17 %
Tabla 7: Comparaci on de los casos 1 y 2
En la Figura 2 se observa claramente que el valor de M se corrige en el caso 2, a la vez que su
desv o standard disminuye considerablemente. Esto es una consecuencia directa de disponer de los
resultados de medici on, con una incertidumbre relativamente baja.
La Figura 3 muestra de qu e manera resulta el valor nal de la medici on de PgZo con su desv o
standard, tanto en el caso 1 como en el caso 2. Se veri ca gr a camente la reducci on del desv o
standard en el segundo caso.
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Figura 2: Comparaci on de M (desv os a 1 )
Figura 3: Comparaci on de PgZo [dBm] (desv os a 1 )
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5.2. Ejemplo: Medici on de Potencia Relativa - Atenuaci on
A continuaci on se analizar a la medici on del paso de 30 dB de un atenuador por pasos mediante un
generador de RF y un power meter.
Figura 4: Esquema de medici on de Atenuaci on
Generador de RF
Marca: Rohde & Schwarz
Modelo: SMR40
Especi caci on: ROE < 2
Sensor de Potencia
Marca: Agilent
Modelo: E4412A
Datos de Certi cado de Calibraci on @15 GHz: j Lj = 0;020; = 0;012 ; ( L) = 65
Atenuador Agilent 8491B - 30 dB
jS11j15 GHz = 0;021 (valor de certi cado de calibraci on); = 0;005
jS21j15 GHz = 0;027 (valor medido)
jS22j15 GHz = 0;049 (valor de certi cado de calibraci on); = 0;005 ; (S22) = 14
Se utilizan las expresiones para el c alculo del mismatch en mediciones de atenuaci on y su varianza
desarrolladas en [1]:
M[dB] 4;343 ( 2Ref GS11g 2Ref LS22g 2RefjS21j
2 G Lg+ 2Ref G Lg) (66)
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(M)[dB]
q
(4;343)2[4 2(<e( GS11)) + 4 2(<e( LS22)) + 4 2(<e(S221 G L)) + 4
2(<e( G L))]
(67)
Se ve que en el primer t ermino de la raiz de (67) se conoce solamente la fase de S11, este caso es
coincidente con la distribuci on Disco/Anillo vista en [1] y se calcula como:
4 2(<e( GS11)) = 4 [2
2( G)
2(S11)] = 0;33
2 0;0212 = 0;48 10 4
En el caso del pr oximo t ermino los coe cientes de re exi on son conocidos, por lo que la varianza
se obtiene por medio de (15):
4 2(<e( LS22)) =4 [2
2
1
2
2 + j Lj
2 21 + jS22j
2 22]
=8 0;0052 0;0122 + 4 0;0202 0;0052 + 4 0;0492 0;0122 = 1; 45 10 6
En el caso del tercer t ermino que incluye al lazo a trav es del DUT, se conoce solamente la fase de
L por lo tanto que este caso es del tipo Disco/Anillo:
4 2(<e(S221 G L)) = 4 [2 jS21j
4 2( G)
2( L)] = jS21j
4 j Gj
2 j Lj
2 = 0;0274 0;332 0;0202 0
De igual forma para el ultimo t ermino se obtiene:
4 2(<e( G L)) = 4 [2
2( G)
2( L)] = j Gj
2j Lj
2 = 0;332 0;0202 = 43;6 10 6
Sumando todas las contribuciones, queda:
(M) = (4;343)
p
0;48 10 4 + 1;45 10 6 + 43;6 10 6
(M) = 0;04 dB (1-sigma)
Finalmente el valor del mismatch en atenuaci on puede ser calculado parcialmente para el segundo
t ermino de (66) debido a que es el unico del cual se dispone de la informaci on completa de sus
coe cientes (el resto de los t erminos se asumen iguales a 0 dB seg un lo visto en [1]). Por medio de
(6) se obtiene:
E(M) = 2 4;343 ( X1 X2 Y1 Y2)
E(M) = 0;01 dB
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Lab. Metrolog a RF & Microondas - INTI
En este ejemplo se desconoce la fase del coe ciente de re exi on del generador de RF, por lo tanto
los t erminos de (66) que lo incluyen son independientes entre s . A su vez tambi en se desconoce la
fase de S21 (el esquema de medici on de la gura 4 no permite dicha medici on), lo que hace que los
dos t erminos que incluyen a L tambi en sean independientes.
Por esta raz on la ecuaci on (67) no contiene t erminos de covarianzas. En el caso de conocer G,
aparecer an entonces t erminos de covarianza en (67) que deber an ser evaluados mediante la expre-
si on (45) en funci on de los coe cientes de re exi on en com un de los t erminos de (66) correlacionados.
Referencias
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Sep 2011.
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2011.
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Technical Note 1379, volumen AP-13, P aginas 488-499, Enero 1996.
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2004 Conference on Precision Electromagnetic Measurements Digest, p ag. 652-653, Junio 2004.
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[8] Blair Hall: The uncertainty of a complex quantity with unknown phase, 33th ANAMET Mee-
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[9] Engen, G.F., \Amplitude Stabilization of a Microwave Signal Source", Microwave Theory and
Techniques, IRE Transactions on , vol.6, no.2, pp.202-206, Apr 1958.
[10] Guldbrandsen, T., \Uncertainty contributions from mismatch in microwave measurements",
Microwaves, Antennas and Propagation, IEE Proceedings - , vol.148, no.6, pp.393-397, Dec
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[11] Blair Hall: Mismatch uncertainty: representations for complex calculations, 29th ANAMET
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[12] BIPM: Evaluation of measurement data | Guide to the expression of uncertainty in measu-
rement, Sep 2008.
[13] BIPM: Evaluation of measurement data | Suplement 2 to the \Guide to the expression of
uncertainty in measurement"| Extension to any number of output quantities, Oct 2011.
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