Incertidumbre por Desadaptaci on en RF
Parte 1
G. Monasterios
H. Silva
A. Henze
N. Tempone
Lab. Metrolog a RF & Microondas, INTI
http://www.inti.gov.ar/electronicaeinformatica/metrologiarf
guillem@inti.gov.ar
Septiembre 2011 (rev. 08/2012)

Lab. Metrolog a RF & Microondas - INTI
Indice
1. Introducci on 2
2. Marco Te orico 2
2.1. Distribuciones de probabilidad marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.1. Distribuci on Anillo Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.2. Distribuci on Disco Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Distribuci on de probabilidad del producto de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3. Mismatch en mediciones de potencia 4
3.1. De nici on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2. Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3. Distribuciones de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3.1. Distribuci on Anillo/Anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3.2. Distribuci on Anillo/Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3.3. Distribuci on Disco/Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4. Mismatch en transmisi on 6
4.1. De nici on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2. Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5. Resumen 8
6. Ejemplos 8
6.1. Ejemplo 1. Generador de RF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6.2. Ejemplo 2. Analizador de espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6.3. Ejemplo 3. Atenuaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Bibliograf a 13
1

Lab. Metrolog a RF & Microondas - INTI
1. Introducci on
El siguiente documento describe las metodolog as de c alculo empleadas en la evaluaci on de la
incertidumbre por Desadaptaci on o Mismatch en sistemas de medici on de RF. El Mismatch se
produce como consecuencia de las m ultiples re exiones ocasionadas en una l nea de transmisi on
cuando los extremos presentan una impedancia distinta a la impedancia caracter stica de la l nea,
Z0. Una impedancia distinta a Z0 implica un coe ciente de re exi on 6= 0, siendo una magnitud
bidimensional (variable compleja) de la cual muchas veces se desconoce el valor de su fase, lo que
trae aparejado que el vector est e ubicado dentro de una regi on circular centrada en el origen
del plano complejo ya que cualquier valor de fase es posible. Como consecuencia se tiene una
incertidumbre del valor de la coordenada que representa al coe ciente de re exi on.
En la secci on 3 se presentan los casos m as comunes seg un la informaci on disponible de los coe cientes
de re exi on presentes en el esquema de medici on. Tambi en se analizan diversos ejemplos como
referencia para las estimaciones de las incertidumbres cuando se realizan mediciones en RF.
2. Marco Te orico
2.1. Distribuciones de probabilidad marginales
Una distribuci on marginal es la proyecci on de cierta distribuci on de probabilidad de m as de una
dimensi on, en este caso en el plano complejo, sobre el eje Re o Im. La distribuci on de los posibles
valores del vector coe ciente de re exi on viene dada por la informaci on disponible tanto del m odulo
como de la fase del mismo. En la pr actica se presentan principalmente los siguientes casos1:
1. Se conoce el valor del m odulo del coe ciente de re exi on. Se desconoce el valor de la fase.
2. Se conoce el m aximo especi cado2 del m odulo del coe ciente de re exi on. Se desconoce el
valor de la fase.
2.1.1. Distribuci on Anillo Uniforme
En este caso se conoce el m odulo del coe ciente de re exi on, j j, pero se desconoce el valor de su
fase, por lo que a la misma se la considera uniformemente distribuida (distribuci on rectangular). La
forma de distribuci on de es la de un anillo (uniform ring) centrado en el origen de coordenadas,
donde la proyecci on en el eje Re e Im sigue una distribuci on de probabilidad marginal del tipo
\arcoseno" cuya funci on de densidad es la llamada Tipo U como se ve en la Fig. 1.
Considerando que el radio del anillo es el m odulo j j, la varianza marginal de esta distribuci on es:
2( ) =
j j2
2
(1)
1Se puede dar el caso de conocer tanto el m odulo como la fase de . Este caso se tratar a en la segunda parte del
presente trabajo.
2El valor \m aximo especi cado"se re ere al valor declarado por el fabricante, que suele ser un valor conservador.
2

Lab. Metrolog a RF & Microondas - INTI
Figura 1: Densidad de Probabilidad de Ref g cuando var a seg un un Anillo [4]
y la matriz covarianza de es:
v( ) =
j j2
2

1 0
0 1

(2)
2.1.2. Distribuci on Disco Uniforme
En este caso se conoce el m aximo especi cado del m odulo del coe ciente de re exi on, pero se
desconoce su fase, por lo que el valor del vector tiene igual probabilidad de situarse en cualquier
punto dentro de un c rculo de radio j j centrado en el origen. La forma de distribuci on en este caso
es la de un disco (uniform disk). La varianza de la distribuci on marginal de esta distribuci on es:
2( ) =
j j2
4
(3)
y la matriz covarianza de es:
v( ) =
j j2
4

1 0
0 1

(4)
2.2. Distribuci on de probabilidad del producto de vectores
Se demuestra en [7] que si dos vectores V1 y V2 tienen una distribuci on de probabilidad coincidentes
con las presentadas en la secci on 2.1, la varianza de la parte real (o marginal) del producto de
3

Lab. Metrolog a RF & Microondas - INTI
estos vectores bidimensionales es igual a 2 veces el producto de las varianzas de las distribuciones
marginales individuales:
2[Re(V1V2)] = 2
2(V1)
2(V2) (5)
3. Mismatch en mediciones de potencia
3.1. De nici on
En un sistema donde un generador de RF inyecta una se~nal en una l nea de transmisi on, la potencia
incidente Pi en la carga est a dada por [1]:
Pi = jbsj
2 1
j1 G Lj2
(6)
donde G y L son los coe cientes de re exi on del generador y de la carga respectivamente. En el
caso que la carga tenga una impedancia igual a la impedancia caracter stica Z0 de la l nea, entonces
j Lj = 0 por lo que PijZ0 = jbsj
2.
La variaci on en la potencia incidente entre el caso de carga adaptada a Z0 y el caso en que tanto
G como L son 6= 0 se conoce como Mismatch o M donde:
M =
1
j1 G Lj2
(7)
Expandiendo el denominador se llega a:
M =
1
1 2j Gjj Lj cos ( G + L) + j Gj2j Lj2
(8)
Dado que los valores de j Lj y j Gj com unmente son cercanos a cero se puede despreciar el t ermino
cuadr atico, quedando la siguiente relaci on:
M =
1
1 2j Gjj Lj cos ( G + L)
(9)
o tambi en, de forma de recalcar la naturaleza vectorial de los coe cientes de re exi on:
M =
1
1 2 <e( G L)
(10)
M 1 + 2 <e( G L) (11)
En este documento, al segundo miembro del segundo t ermino se lo denomina \Error por Mismatch".
4

Lab. Metrolog a RF & Microondas - INTI
3.2. Varianza
A partir de (11) tenemos que la varianza del error por Mismatch es:
2(M) = 4 2[Re( G L)] (12)
y teniendo en cuenta la ecuaci on (5) donde V1 y V2 representan a G y L respectivamente, se tiene
que:
2(M) = 8 2( G)
2( L) (13)
3.3. Distribuciones de probabilidad
Seg un la informaci on disponible sobre j Gj y j Lj se tienen distintas expresiones para las respec-
tivas varianzas de las distribuciones marginales y por ende se tienen distintas distribuciones de
probabilidad del error por Mismatch. A continuaci on se enumeran distintas posibilidades que se
presentan en la pr actica3:
1. Se conocen los valores del m odulo de ambos coe cientes de re exi on.
2. Se conoce el valor de un coe ciente de re exi on y el m aximo especi cado del segundo.
3. Se conocen los m aximos especi cados del m odulo de ambos coe cientes de re exi on.
Al considerar que las distribuciones de probabilidad del coe ciente de re exi on est an centradas en
el origen entonces el valor medio o \esperado"de las distribuciones de probabilidad del error por
Mismatch ser a siempre igual a cero. Esto indica que ante esta situaci on no es posible corregir dicho
error y que solamente puede estimarse un desv o standard asociado al mismo.
3.3.1. Distribuci on Anillo/Anillo
Si se conocen los m odulos de los dos coe cientes de re exi on, j Gj y j Lj, se obtiene una distribuci on
de probabilidad com unmente conocida como Tipo U. Entonces seg un (1) y (13) queda:
2(M) = 8
j Gj2
2
j Lj2
2
= 2j Gj
2j Lj
2 (varianza) (14)
(M) =
p
2j Gjj Lj (desv o standard 1-sigma) (15)
La distribuci on resultante de M tiene la siguiente forma:
3Se asume que no se tiene informaci on respecto a ( ) de ninguno de los dos vectores
5

Lab. Metrolog a RF & Microondas - INTI
Figura 2: Densidad de probabilidad normalizada si se conocen los m odulos de ambos
3.3.2. Distribuci on Anillo/Disco
Si se conoce el valor m aximo especi cado del m odulo de G y el valor del m odulo de L o viceversa,
entonces seg un (1), (3) y (13) queda (suponiendo m aximo j Gj especi cado):
2(M) = 8
j Gj2
4
j Lj2
2
= j Gj
2j Lj
2 (varianza) (16)
(M) = j Gjj Lj (desv o standard 1-sigma) (17)
La distribuci on tiene la forma indicada por la Fig. 3.
Figura 3: Densidad de Probabilidad normalizada si se conoce el m odulo de un solo
6

Lab. Metrolog a RF & Microondas - INTI
3.3.3. Distribuci on Disco/Disco
Si solo se conocen los valores m aximos especi cados de los m odulos de ambos coe cientes de re exi on
G y L, entonces seg un (3) y (13) queda:
2(M) = 8
j Gj2
4
j Lj2
4
=
1
2
j Gj
2j Lj
2 (varianza) (18)
(M) =
1
p
2
j Gjj Lj (desv o standard 1-sigma) (19)
La distribuci on tiene la forma indicada por la Fig. 4.
Figura 4: Densidad de probabilidad si se conocen los m aximos valores de los m odulos de ambos
4. Mismatch en transmisi on
4.1. De nici on
Cuando se mide la atenuaci on de un dispositivo de 2 puertos (DUT) como se ve en la Fig. 7 aparecen
desadaptaciones tanto en la entrada como en la salida del DUT. Aplicando la regla de Mason al
diagrama de ujo del esquema en cuesti on, se llega a la siguiente expresi on [3] que expresa el valor
absoluto del error por Mismatch debido a estas desadaptaciones cuando se mide jS21j :
M[dB] = 10 log



(1 GS11)(1 LS22) G LS12S21
1 G L



2
(20)
donde G y L son los coe cientes de re exi on del generador de RF y del sensor de potencia re-
spectivamente, y Sxx son los par ametros S del DUT.
7

Lab. Metrolog a RF & Microondas - INTI
Asumiendo que el DUT es un dispositivo rec proco (S21 = S12) y considerando que S11 y S22
son valores peque~nos, operando se llega a que:
M[dB] = 10 log


1 GS11 LS22 jS21j
2 G L + G L
| {z }
x



2
(21)
Si x 0 se cumple que j1 + xj2 1 + 2Refxg:
M[dB] 10 log(1 + 2Ref GS11 LS22 jS21j
2 G L + G Lg) (22)
M[dB] 4;34 ln(1 + 2Ref GS11 LS22 jS21j
2 G L + G Lg) (23)
Teniendo en cuenta que si x 0, ln(1 + 2x) 2x, queda:
M[dB] 4;34 ( 2Ref GS11g 2Ref LS22g 2RefjS21j
2 G Lg+ 2Ref G Lg) (24)
4.2. Varianza
La varianza de (24) se calcula como la suma de las varianzas individuales de cada uno de sus
t erminos debido a que el desconocimiento de las fases implica que todos son independientes entre
s y por lo tanto no existen covarianzas entre los mismos.
Se observa que cada t ermino del segundo miembro tiene la forma del t ermino de error de (11) y
sus varianzas individuales se calculan seg un (13). De la medici on de atenuaci on se conoce el valor
de jS21j, por lo que puede asumirse que el t ermino que incluye el lazo a trav es del DUT tiene la
forma dada en (13) donde jS21j2 aparece como constante.
Finalmente:
2(M) 8 2( G)
2(S11) + 8
2( L)
2(S22) + 8 jS21j
4 2( G)
2( L) + 8
2( G)
2( L) (25)
(M)[dB]
p
(4;34)2 [8 2( G) 2(S11) + 8 2( L) 2(S22) + 8 jS21j4 2( G) 2( L) + 8 2( G) 2( L)]
(26)
5. Resumen
A continuaci on se resumen los par ametros caracter sticos de los distintos casos presentados:
8

Lab. Metrolog a RF & Microondas - INTI
Informaci on (M) Distribuci on Tipo
j Gj y j Lj
p
2 j Gj j Lj Tipo-U Anillo/Anillo
j Gj y j Ljmax j Gj j Lj - Disco/Anillo
j Gjmax y j Ljmax 1p2 j Gj j Lj - Disco/Disco
Cuadro 1: Casos posibles - Incertidumbre standard por Mismatch
6. Ejemplos
1. Medici on del nivel de salida de un generador de RF
2. Medici on de exactitud de un analizador de espectro
3. Medici on de los par ametros S de un dispositivo de 2 puertos
6.1. Ejemplo 1. Generador de RF
En el caso de medir la potencia absoluta de salida de un generador de RF como muestra la Fig. 5,
G representa el coe ciente de re exi on del generador y L el del sensor de potencia. En general la
informaci on que se conoce de G es la especi caci on de j Gjmax o ROEmax que informa el fabricante
mientras que el L puede ser medido por medio de un VNA4 para conocer su m odulo. De esta forma
se tiene el caso presentado en la secci on 3.3.2.
Como ejemplo, supongamos tener los siguientes equipos en nuestro esquema de medici on para medir
la salida de un generador en 18 GHz :
Generador de RF
Marca: Rohde & Schwarz
Modelo: SMR40
Especi caci on: ROE < 2
Sensor de potencia
Marca: Agilent
Modelo: E4412
Especi caci on: ROE < 1; 27 (10 GHz a 18 GHz)
Datos de certi cado de calibraci on: j Lj = 0;016
Utilizando el m odulo del coe ciente de re exi on del sensor informado en su certi cado de calibraci on
y seg un lo explicado en la secci on 3.3.2, el desv o standard del error por Mismatch (1-sigma) se
calcula seg un el caso Anillo/Disco:
ROEG = 2) j Gjmax = 0;33 (27)
4VNA: Vector Network Analyzer
9

Lab. Metrolog a RF & Microondas - INTI
Figura 5: Medici on del nivel de salida de un generador de RF
j Lj = 0;016 (28)
(M) = 0;33 0;016 = 0;005 (29)
Si en vez de utilizar los datos del certi cado de calibraci on del sensor, se utiliza la especi caci on
del fabricante, entonces el desv o standard del error por Mismatch se comporta de acuerdo al caso
Disco/Disco visto en la secci on 3.3.3:
ROEG = 2) j Gjmax = 0;33 (30)
ROEL = 1;27) j Ljmax = 0;12 (31)
(M) =
1
p
2
0;33 0;12 = 0;028 (32)
Como se puede apreciar, el desv o standard calculado es aproximadamente 5 veces mayor si se usan
las especi caciones aseguradas por el fabricante que si se extrae el valor medido del certi cado de
calibraci on.
6.2. Ejemplo 2. Analizador de espectro
En el caso de medir la exactitud de escala de un analizador de espectro ( delidad), la se~nal que se
inyecta al analizador se nivela como se ve en la Fig. 6 . Por lo tanto el G es el correspondiente al
coe ciente de re exi on equivalente eq del divisor de potencia [5]. La forma de calcular el mismo es
a trav es de la medici on de los par ametros S del divisor de potencia y luego por medio de la ecuaci on
(33), se obtiene el m odulo y fase de eq. En este caso se considera que la salida hacia el DUT se
conecta en el puerto 3 del divisor de potencia:
eq =
S33 (S13S32)
S12
(33)
Se conoce j Ljmax o ROEmax de la especi caci on del fabricante correspondiente al analizador de
espectro, que indica un peor caso para el m odulo de L pero no brinda informaci on sobre su fase.
10

Lab. Metrolog a RF & Microondas - INTI
En este caso tambi en se tiene la combinaci on Anillo/Disco.
Figura 6: Esquema de medici on de la Fidelidad de Escala de un analizador de espectro
Como ejemplo, se tienen los siguientes equipos para medir el nivel de salida de un generador en 30
GHz:
Divisor de potencia
Marca: Agilent
Modelo: 11636C
Datos de certi cado de calibraci on @30 GHz: j eqpuerto3 j = 0;105
11

Lab. Metrolog a RF & Microondas - INTI
Analizador de espectro
Marca: Agilent
Modelo: E4448A PSA
Especi caci on: ROE < 1;57 (26,5 GHz a 50 GHz)
En este caso el desv o standard del error por Mismatch se calcula como sigue:
j Gj = j eqpuerto3 j = 0;105 (34)
ROEL = 1;57) j Ljmax = 0;22 (35)
(M) = 0;105 0;22 = 0;023 (36)
6.3. Ejemplo 3. Atenuaci on
Se realiza la medici on de atenuaci on [3] de un dispositivo pasivo en 15 GHz, con un esquema de
medici on como se ve en la Fig. 7. Los equipos utilizados se indican a continuaci on:
Figura 7: Esquema de medici on de Atenuaci on
Generador de RF
Marca: Rohde & Schwarz
Modelo: SMR40
Especi caci on: ROE < 2
Sensor de potencia
Marca: Agilent
12

Lab. Metrolog a RF & Microondas - INTI
Modelo: E4412A
Datos de certi cado de calibraci on @15 GHz: j Lj = 0;020
Atenuador Agilent 8491B - 30 dB
jS11j15 GHz 0;20 (valor m aximo especi cado)
jS12j15 GHz = 0;0311 (valor medido con el esquema de la Fig. 7)
jS21j15 GHz = 0;0311 (valor medido con el esquema de la Fig. 7)
jS22j15 GHz 0;20 (valor m aximo especi cado)
Utilizando la ecuaci on (26):
(M)[dB]
p
(4;34)2 [8 2( G) 2(S11) + 8 2( L) 2(S22) + 8 jS21j4 2( G) 2( L) + 8 2( G) 2( L)]
se deduce que el primer t ermino del segundo miembro coincide con el caso Disco/Disco:
8 2( G)
2(S11) =
1
2
0;332 0;202 = 2;18 10 3 (37)
En el caso del pr oximo t ermino se tiene el caso Disco/Anillo:
8 2( L)
2(S22) = 0;020
2 0;202 = 16;0 10 6 (38)
En el caso del t ermino que incluye el lazo a trav es del DUT, se conoce el m odulo de L, pero se
desconoce ( G). Se puede considerar que este caso es el Disco/Anillo:
8 jS21j
4 2( G)
2( L) = jS21j
4 j Gj
2 j Lj
2 = 0;03114 0;332 0;0202 0 (39)
Por ultimo se tiene:
8 2( G)
2( L) = j Gj
2j Lj
2 = 0;332 0;0202 = 43;610 6 (40)
Sumando todas las contribuciones, queda:
2(M) = 2; 18 10 3 + 16; 0 10 6 + 43; 6 10 6) = 2; 24 10 3 (41)
(M) =
p
(4;34)2 2; 24 10 3 = 0; 205 dB (42)
13

Lab. Metrolog a RF & Microondas - INTI
Referencias
[1] Agilent (AN 1449-3): Fundamentals of RF and Microwave Power Measurements (Part 3), Apr
2011.
[2] Harris, I.A.; Warner, F.L., \Re-examination of mismatch uncertainty when measuring mi-
crowave power and attenuation", Microwaves, Optics and Antennas, IEE Proceedings H ,
vol.128, no.1, pp.35-41, Feb 1981.
[3] Warner, F.L., \Microwave attenuation measurement", (Peter Peregrinus, 1977) , chaps 2, 8 &
14.
[4] Blair Hall: The uncertainty of a complex quantity with unknown phase, 33th ANAMET Meet-
ing, May 2010.
[5] Engen, G.F., \Amplitude Stabilization of a Microwave Signal Source", Microwave Theory and
Techniques, IRE Transactions on , vol.6, no.2, pp.202-206, Apr 1958.
[6] Guldbrandsen, T., \Uncertainty contributions from mismatch in microwave measurements",
Microwaves, Antennas and Propagation, IEE Proceedings - , vol.148, no.6, pp.393-397, Dec
2001.
[7] Blair Hall: Mismatch uncertainty: representations for complex calculations, 29th ANAMET
Meeting, March 2008.
14