Incertidumbre por Desadaptaci on en RF -
parte 1
G. Monasterios
H. Silva
A. Henze
N. Tempone
Lab. Metrolog a RF & Microondas, INTI
http://www.inti.gov.ar/electronicaeinformatica/metrologiarf
guillem@inti.gov.ar
Septiembre 2011

Indice
1. Introducci on 2
2. Marco Te orico 2
2.1. De nici on de Mismatch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2. Distribuciones de probabilidad marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.1. Distribuci on Anillo Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.2. Distribuci on Disco Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3. Distribuci on de probabilidad del producto de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.1. Varianza de la incertidumbre por Mismatch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. Distribuciones de probabilidad del Mismatch 5
3.1. Distribuci on Anillo/Anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2. Distribuci on Anillo/Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3. Distribuci on Disco/Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4. Distribuciones de probabilidad del Mismatch en Transmisi on 6
5. Resumen 8
6. Ejemplos 8
6.1. Ejemplo 1. Generador de RF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6.2. Ejemplo 2. Analizador de Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.3. Ejemplo 3. Atenuaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Bibliograf a 13
1

1. Introducci on
El siguiente documento describe las metodolog as de c alculo empleadas en la evaluaci on de
una de las fuentes de incertidumbre de mayor peso al medir Potencia en RF y Microondas: la
incertidumbre por Desadaptaci on o Mismatch. El Mismatch se produce como consecuencia de las
m ultiples re exiones ocasionadas en una l nea de transmisi on cuando los extremos presentan una
impedancia distinta a la impedancia caracter stica de la l nea, Z0. Una impedancia distinta a Z0
implica un Coe ciente de Re exi on 6= 0, siendo una magnitud bidimensional (variable com-
pleja) de la cual, en general, se desconoce el valor de su fase, lo que trae aparejado que el vector
m odulo j j (extremo jo en el origen de coordenadas) empiece a rotar en el plano complejo ya que
cualquier valor de fase es posible. Esto delimita un area en el plano complejo y en consecuencia
una incertidumbre respecto al verdadero valor de la coordenada que representa el coe ciente de
re exi on complejo. En la secci on 3 se presentan los tres casos m as comunes seg un la informaci on
disponible de los Coe cientes de Re exi on presentes en el esquema de medici on, donde se ver an
diversos ejemplos que ayuden como referencia en los c alculos de incertidumbre que se deban realizar
en los laboratorios de medici on en RF.
2. Marco Te orico
2.1. De nici on de Mismatch
En un sistema donde un generador de RF inyecta una se~nal en una l nea de transmisi on, la
Potencia incidente Pi en la carga est a dada por [1]:
Pi = jbsj
2 1
j1 G Lj2
(1)
donde G y L son los coe cientes de re exi on del generador y de la carga respectivamente. En el
caso que la carga tenga una impedancia igual a la impedancia caracter stica Z0 de la l nea, entonces
j Lj = 0 por lo que PijZ0 = jbsj
2.
La variaci on en la potencia incidente entre el caso de carga adaptada a Z0 y el caso en que
tanto G como L son 6= 0 es:
4Pi
Pi
=
1
j1 G Lj2
(2)
Expandiendo el denominador se llega a:
4Pi
Pi
=
1
1 2j Gjj Lj cos ( G + L) + j Gj2j Lj2
(3)
Dado que los valores de j Lj y j Gj son cercanos a cero se puede despreciar el t ermino cuadr atico,
quedando la siguiente relaci on:
4Pi
Pi
=
1
1 2j Gjj Lj cos ( G + L)
(4)
2

o tambi en, de forma de recalcar la naturaleza vectorial de los coe cientes de re exi on:
4Pi
Pi
=
1
1 2 Re( G L)
(5)
4Pi
Pi
1 + 2 Re( G L) (6)
Al segundo miembro del segundo t ermino se lo denomina \Error por Mismatch":
M = 2 Re( G L) (7)
2.2. Distribuciones de probabilidad marginales
Una distribuci on marginal es la proyecci on de cierta distribuci on de probabilidad de m as de
una dimensi on, en este caso en el plano complejo, sobre el eje Re o Im. La distribuci on de los
posibles valores del vector Coe ciente de Re exi on viene dada por la informaci on disponible tanto
del m odulo como de la fase del mismo. En la pr actica se presentan principalmente los siguientes
casos1:
1. Se conoce el valor del m odulo del Coe ciente de Re exi on. Se desconoce el valor de la fase
2. Se conoce el m aximo valor posible del m odulo del Coe ciente de Re exi on. Se desconoce el
valor de la fase
2.2.1. Distribuci on Anillo Uniforme
En este caso se conoce el m odulo del coe ciente de re exi on, j j, pero se desconoce el valor de su
fase, por lo que a la misma se la considera uniformemente distribuida (distribuci on rectangular). La
forma de distribuci on de es la de un anillo (uniform ring) centrado en el origen de coordenadas,
donde la proyecci on en el eje Re e Im sigue una distribuci on de probabilidad marginal del tipo
\arcoseno" cuya funci on de densidad es la llamada Tipo U como se ve en la Fig. 1.
Considerando que el radio del anillo es el m odulo j j, la varianza marginal de esta distribuci on
es:
2( ) =
j j2
2
(8)
y la matriz covarianza de es:
v( ) =
j j2
2

1 0
0 1

(9)
2.2.2. Distribuci on Disco Uniforme
En este caso se conoce el m aximo valor que puede tomar el m odulo del coe ciente de re exi on,
pero se desconoce su fase, por lo que el valor del vector tiene igual probabilidad de situarse en
cualquier punto dentro de un c rculo de radio j j centrado en el origen. La forma de distribuci on
1Se puede dar el caso de conocer tanto el m odulo como la fase de . Este caso se trata en la segunda parte del
presente trabajo
3

Figura 1: Distribuci on de Probabilidad de Ref g cuando var a seg un un Anillo [4]
en este caso es la de un disco (uniform disk). La varianza de la distribuci on marginal de esta
distribuci on es:
2( ) =
j j2
4
(10)
y la matriz covarianza de es:
v( ) =
j j2
4

1 0
0 1

(11)
2.3. Distribuci on de probabilidad del producto de vectores
Se demuestra en [4] que si dos vectores V1 y V2 tienen una distribuci on de probabilidad coinci-
dentes con las presentadas en la secci on 2.2, la varianza de la parte real, o marginal, del producto de
estos vectores bidimensionales es igual a 2 veces el producto de las varianzas de las distribuciones
marginales individuales:
2[Re(V1V2)] = 2
2(V1)
2(V2) (12)
Para nuestro caso, donde los vectores en (7) son los coe cientes de re exi on se tiene:
2[Re( G L)] = 2
2( G)
2( L) (13)
2.3.1. Varianza de la incertidumbre por Mismatch
Seg un (7) tenemos que la varianza de la incertidumbre por Mismatch es:
2(M) = 4 2[Re( G L)] (14)
4

y teniendo en cuenta la ecuaci on (13), queda:
2(M) = 8 2( G)
2( L) (15)
3. Distribuciones de probabilidad del Mismatch
Seg un la informaci on disponible sobre j Gj y j Lj se tienen distintas expresiones para las res-
pectivas varianzas y por ende se tienen distintas distribuciones de probabilidad de la incertidumbre
por Mismatch. A continuaci on se enumeran distintas posibilidades que se presentan en la pr actica2:
1. Se conocen los valores del m odulo de ambos coe cientes de re exi on
2. Se conoce el valor de un coe ciente de re exi on y el m aximo especi cado del segundo
3. Se conocen los m aximos especi cados del m odulo de ambos coe cientes de re exi on
3.1. Distribuci on Anillo/Anillo
Si se conocen los m odulos de los dos coe cientes de re exi on, G y L, se obtiene una distribuci on
de probabilidad Tipo U. Entonces seg un (8) y (15) queda:
2(M) = 8
j Gj2
2
j Lj2
2
= 2j Gj
2j Lj
2 (varianza) (16)
(M) =
p
2j Gjj Lj (desv o standard 1-sigma) (17)
La distribuci on resultante del producto de ambos coe cientes es de la siguiente forma:
Figura 2: Distribuci on de probabilidad normalizada si se conocen los m odulos de ambos
2Se asume que no se tiene informaci on respecto a ( ) de ninguno de los dos vectores
5

3.2. Distribuci on Anillo/Disco
Si se conoce el valor m aximo especi cado del m odulo de G y el valor del m odulo de L o
viceversa, entonces seg un (8), (10) y (15) queda (suponiendo m aximo j Gj especi cado):
2(M) = 8
j Gj2
4
j Lj2
2
= j Gj
2j Lj
2 (varianza) (18)
(M) = j Gjj Lj (desv o standard 1-sigma) (19)
La distribuci on tiene la forma indicada por la Fig. 3.
Figura 3: Distribuci on de Probabilidad normalizada si se conoce el m odulo de un solo
3.3. Distribuci on Disco/Disco
Si solo se conocen los valores m aximos especi cados de los m odulos de ambos coe cientes de
re exi on G y L, entonces seg un (10) y (15) queda:
2(M) = 8
j Gj2
4
j Lj2
4
=
1
2
j Gj
2j Lj
2 (varianza) (20)
(M) =
1
p
2
j Gjj Lj (desv o standard 1-sigma) (21)
La distribuci on tiene la forma indicada por la Fig. 4.
4. Distribuciones de probabilidad del Mismatch en Transmisi on
Cuando se mide la atenuaci on de un dispositivo de 2 puertos como se ve en la Fig. 7 aparecen
desadaptaciones tanto en la entrada como en la salida del DUT. Aplicando la Regla de Mason al
diagrama de ujo del esquema en cuesti on, se llega a la siguiente expresi on [3] que expresa el valor
absoluto del error por Mismatch debido a estas desadaptaciones cuando se mide jS21j :
M [dB] = 10 log



(1 GS11)(1 LS22) G LS12S21
1 G L



2
(22)
6

Figura 4: Distribuci on de probabilidad si se conocen los m aximos valores de los m odulos de ambos
.
Asumiendo que el DUT es un dispositivo rec proco (S21 = S12) y considerando que S11 y S22 son
valores peque~nos, operando se llega a que:
M [dB] = 10 log


1 GS11 LS22 S
2
21 G L + G L| {z }
x



2
(23)
Si x 0 se cumple que j1 + xj2 1 + 2Refxg:
M [dB] 10 log(1 + 2Ref GS11 LS22 S
2
21 G L + G Lg) (24)
M [dB] 4;34 ln(1 + 2Ref GS11 LS22 S
2
21 G L + G Lg) (25)
Teniendo en cuenta que si x 0, ln(1 + 2x) 2x, queda:
M [dB] 4;34 ( 2Ref GS11g 2Ref LS22g 2RefS
2
21 G Lg+ 2Ref G Lg) (26)
Se observa que cada t ermimo del segundo miembro tiene la forma de (7) y su varianza individual
se calcula seg un (15). De la medici on de atenuaci on se conoce el valor de jS21j, por lo que puede
asumirse que el t ermino que incluye el lazo a trav es del DUT tiene la forma dada en (15) donde
jS21j aparece como constante.
Finalmente:
2M(dB) (4;34)
2 [8 2( G)
2(S11) + 8
2( L)
2(S22) + 8 jS21j
2 2( G)
2( L) + 8
2( G)
2( L)]
(27)
7

5. Resumen
A continuaci on se resumen los par ametros caracter sticos de los distintos casos presentados:
Informaci on u(Mu) Distribuci on Tipo
j Gj y j Lj
p
2 j Gj j Lj Tipo-U Anillo/Anillo
j Gj y j Ljmax j Gj j Lj - Disco/Anillo
j Gjmax y j Ljmax 1p2 j Gj j Lj - Disco/Disco
Cuadro 1: Casos posibles - Incertidumbre standard por Mismatch
6. Ejemplos
1. Medici on del Nivel de Salida de un Generador de RF
2. Medici on de Planicidad de un Analizador de Espectro
3. Medici on de los par ametros S de un dispositivo de 2 puertos
6.1. Ejemplo 1. Generador de RF
En el caso de medir la potencia absoluta de salida de un Generador de RF como muestra la
Fig. 5, se da la situaci on de tener enfrentados a G del Generador con L del Sensor de Potencia.
En general la informaci on que se conoce de G son las especi caciones de j Gjmax o ROEmax que
brinda el fabricante mientras que el L puede ser medido por medio de un VNA3 para conocer tanto
el m odulo como la fase del del sensor. De esta forma se tiene el caso presentado en la secci on 3.2.
Como ejemplo, supongamos tener los siguientes equipos en nuestro esquema de medici on para medir
la salida de un generador en 18 GHz :
Generador de RF
Marca: Rohde & Schwarz
Modelo: SMR40
Especi caci on: ROE < 2
Sensor de Potencia
Marca: Agilent
Modelo: E4412
Especi caci on: ROE < 1;27 (10 GHz a 18 GHz)
Datos de Certi cado de Calibraci on: j Lj = 0;016 ; ( L) = 46
3VNA: Vector Network Analyzer
8

Figura 5: Medici on del nivel de salida de un generador de RF
Seg un lo analizado anteriormente la incertidumbre por Mismatch (1-sigma) se calcula seg un el
caso Anillo/Disco como se explica en la secci on 3.2:
ROEG = 2) j Gjmax = 0;33 (28)
j Lj = 0;016 (29)
u(M) = 0;33 0;016 = 0;005 (30)
Si en vez de utilizar los datos del certi cado de calibraci on del sensor, se utiliza el dato informado por
el fabricante, entonces la incertidumbre por Mismatch se comporta de acuerdo al caso Disco/Disco
visto en la secci on 3.3, entonces:
ROEG = 2) j Gjmax = 0;33 (31)
ROEL = 1;27) j Ljmax = 0;12 (32)
u(M) =
1
p
2
0;33 0;12 = 0;028 (33)
Como se puede apreciar, en este caso el t ermino por incertidumbre es aproximadamente 5 veces
mayor si se usan las especi caciones aseguradas por el fabricante que si se extrae el valor del sensor
de un certi cado de calibraci on.
6.2. Ejemplo 2. Analizador de Espectro
En el caso de medir la exactitud de escala de un Analizador de Espectro ( delidad), la se~nal que
se inyecta al Analizador se nivela como se ve en la Fig. 6 . Por lo tanto el G que ve el Analizador
de Espectro es el correspondiente al coe ciente de re exi on equivalente eq del divisor de potencia
[5]. La forma de calcular el mismo es a trav es de la medici on de los par ametros S del divisor de
potencia y luego por medio de la ecuaci on (34), se obtiene el m odulo y fase de eq. En este caso se
considera que la salida hacia el DUT se conecta en el puerto 3 del divisor de potencia:
eq =
S33 (S13S32)
S12
(34)
9

Figura 6: Esquema de medici on de la Fidelidad de Escala de un analizador de espectro
Se conoce j Ljmax o ROEmax de la especi caci on del fabricante correspondiente al Analizador de
Espectro, que indica un peor caso para el m odulo de L pero no brinda informaci on sobre su fase.
En este caso tambi en se tiene la combinaci on Anillo/Disco. Como ejemplo, supongamos tener los
siguientes equipos en nuestro esquema de medici on para medir el nivel de salida de un generador
en 30 GHz:
Divisor de Potencia
Marca: Agilent
Modelo: 11636C
Datos de Certi cado de Calibraci on @30 GHz: j eqpuerto3 j = 0;105 ; ( eqpuerto3) = 94;8

Analizador de Espectro
Marca: Agilent
Modelo: E4448A PSA
Especi caci on: ROE < 1;57 (26,5 GHz a 50 GHz)
En este caso la incertidumbre por Mismatch (1-sigma) se calcula como sigue:
j Gj = 0;105 (35)
ROEL = 1;57) j Ljmax = 0;22 (36)
u(M) = 0;105 0;22 = 0;023 (37)
10

6.3. Ejemplo 3. Atenuaci on
Se realiza la medici on de atenuaci on de un dispositivo pasivo en 15 GHz, con un esquema de
medici on como se ve en la Fig. 7. Los equipos utilizados se indican a continuaci on:
Figura 7: Esquema de medici on de Atenuaci on
Generador de RF
Marca: Rohde & Schwarz
Modelo: SMR40
Especi caci on: ROE < 2
Sensor de Potencia
Marca: Agilent
Modelo: E4412A
Especi caci on: ROE < 1;27 (10 GHz a 18 GHz)
Datos de Certi cado de Calibraci on @15 GHz: j Lj = 0;020 ; ( L) = 65
Atenuador Agilent 8491B - 30 dB
jS11j15 GHz 0;20 (valor m aximo especi cado)
jS12j15 GHz = 0;0311 (valor medido)
jS21j15 GHz = 0;0311 (valor medido)
jS22j15 GHz 0;20 (valor m aximo especi cado)
Utilizando la ecuaci on (27):
2M(dB) (4;343)
2 [8 2( G)
2(S11) + 8
2( L)
2(S22) + 8jS21j
2 2( G)
2( L) + 8
2( G)
2( L)]
(38)
se ve que el primer t ermino del segundo miembro coincide con el caso Disco/Disco:
8 2( G)
2(S11) =
1
2
0;332 0;202 = 2;18 10 3 (39)
11

En el caso del pr oximo t ermino se tiene el caso Disco/Anillo:
8 2( L)
2(S22) = 0;020
2 0;202 = 16;0 10 6 (40)
En el caso del t ermino que incluye el lazo a trav es del DUT, se conoce el m odulo y la fase de L,
pero se desconoce ( G). Se puede considerar que este caso es el Disco/Anillo:
8 jS21j
2 2( G)
2( L) = jS21j
2 j Gj
2 j Lj
2 = 0;03112 0;332 0;0202 0 (41)
Por ultimo se tiene:
8 2( G)
2( L) = j Gj
2j Lj
2 = 0;332 0;0202 = 43;610 6 (42)
Sumando todas las contribuciones, queda:
2(M) = (4;343)2 (2; 18 10 3 + 16; 0 10 6 + 43; 6 10 6) = 42;2 10 3 (43)
(M) = 0;205 (1-sigma) [dB] (44)
12

Referencias
[1] Agilent (AN 1449-3): Fundamentals of RF and Microwave Power Measurements (Part 3), Apr
2011.
[2] Harris, I.A.; Warner, F.L., \Re-examination of mismatch uncertainty when measuring micro-
wave power and attenuation", Microwaves, Optics and Antennas, IEE Proceedings H , vol.128,
no.1, pp.35-41, Feb 1981.
[3] Warner, F.L., \Microwave attenuation measuremnt", (Peter Peregrinus, 1977) , chaps 2, 8 &
14.
[4] Blair Hall: The uncertainty of a complex quantity with unknown phase, 33th ANAMET Mee-
ting, May 2010.
[5] Engen, G.F., \Amplitude Stabilization of a Microwave Signal Source", Microwave Theory and
Techniques, IRE Transactions on , vol.6, no.2, pp.202-206, Apr 1958.
[6] Guldbrandsen, T., \Uncertainty contributions from mismatch in microwave measurements",
Microwaves, Antennas and Propagation, IEE Proceedings - , vol.148, no.6, pp.393-397, Dec
2001.
[7] Blair Hall: Notes on complex measurement uncertainty - part 1, 53th ANAMET Report, Dec
2010.
13