L neas de transmisi on y par ametros S
aplicados a la metrolog a
Ing. Hernando D. Silva
Lab. Metrolog a RF & Microondas, INTI
http://www.inti.gov.ar/electronicaeinformatica/metrologiarf
hsilva@inti.gov.ar
Junio 2011

Líneas de Transmisión y parámetros S

Ing. Hernando Silva Página 2 de 56

Indice:

1 – Líneas de transmisión

1.1 – Definición

1.2 – Modelo eléctrico

• Ecuaciones básicas de la línea de transmisión.
• Ondas incidentes y reflejadas.

1.3 – Líneas sin pérdidas

• Impedancia característica en líneas ideales, definición y cálculo.
• Coeficiente de reflexión, definición y cálculo del mismo, casos típicos.
• Tensiones y corrientes en la línea, ondas estacionarias (ROE) y longitud eléctrica.
• Diagrama de Smith.

1.4 – Efecto de las pérdidas en la línea de Aire

• Modelo electromagnético de la línea con pérdidas.
• Cálculo de la impedancia característica y constante de propagación en las líneas con pérdidas.
• Ejemplos para líneas patrones con dieléctrico de aire.


2 – Parámetros S

2.1 – Definición

• Ondas de tensión normalizadas, potencias asociadas.
• Definición de los parámetros S, magnitudes asociadas.
• Generalización a dispositivos de múltiples puertos, notación matricial.
• Ejemplos de cálculos de parámetros S para cuadripolos reales.
• Balance de potencias.
• Definición de los parámetros T.

2.2 – Relación con parámetros Z (impedancia) e Y (admitancia)

• Desarrollo y análisis de las fórmulas de conversión.
• Ejemplos de conversión para cuadripolos reales.

2.3 – Diagramas de flujo

• Análisis y resolución de diagramas de flujo de señal, Regla de Mason.
• Cálculo sobre sistemas elementales utilizando diagramas de flujo.
• Análisis de mediciones típicas de Alta frecuencia por medio de sus diagramas de flujo.
• Comparación con los resultados obtenidos para un sistema utilizando la teoría electrotécnica
(similitudes y diferencias conceptuales).

Anexo: Vector Network Analyzer

• Principios de funcionamiento.
• Análisis de las señales involucradas y diagramas de flujo.
• Métodos de calibración TOSM y TRL, fundamentos teóricos.

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1- Líneas de transmisión

1.1 - Definición

Se entiende por línea de transmisión a todo soporte físico encargado de transportar energía
electromagnética de Alta frecuencia. Entre las configuraciones más utilizadas se encuentran las de dos
conductores bifilares o coaxiales, además de dispositivos microstrip y coplanares que permiten integrar
líneas de transmisión con circuitos de dimensiones muy pequeñas.
Dentro del grupo de lineas de Transmisión también se pueden incluir a las guías de onda, aunque se
reserva esta definición exclusivamente a las configuraciones que poseen al menos dos conductores. Esta
propiedad las diferencia con las guías de onda en el hecho que sus condiciones de contorno las hace
apropiadas para propagar esencialmente el modo Transversal Electromagnético TEM, donde el sentido
de los campos E y H siempre es perpendicular a la dirección de propagación de la energía y sin presentar
frecuencias mínimas de corte para dicho modo.
La configuración de campos TEM permite que la línea pueda ser modelizada por medio de un circuito
equivalente, lo que permite reducir a la misma a un cuadripolo cuyos parámetros dependen directamente
de los valores de los componentes de dicho circuito.
Es importante destacar que para que se produzca la propagación del modo TEM los conductores deben
ser considerados ideales (es decir la conductividad de los mismos debe ser considerada infinita)1.

En el campo de la metrología, el tipo de línea más utilizado es el de dos conductores coaxiales cuya
separación esta compuesta por aire o algún otro material dieléctrico. Las líneas con dieléctrico de aire son
utilizadas especialmente como patrón de impedancia, debido a que sus parámetros pueden ser calculados
exclusivamente por medio de mediciones dimensionales y constantes físicas utilizando las fórmulas que
se desarrollarán en las secciones siguientes.

1.2 – Modelo eléctrico

Considerando un tramo dx de línea de transmisión, se puede modelizar por medio del siguiente circuito
equivalente:

figura 1: modelo eléctrico de la línea
Donde se definen:
[ ]w o à i ã= + ω Ω
[ ]v d à ` ã= + ω ΩN

Resolviendo el circuito se obtiene:
Çs Ç s Çf ÇwÇs fKw Çñ fKw w f
Çñ Çñ Çñ Çñ
= ⇒ = ⇒ = +
O
O
Çf Ç f Çs ÇvÇf sKv Çñ sKv v s
Çñ Çñ Çñ Çñ
= ⇒ = ⇒ = +
O
O

1 En la sección 1.4 se demuestra que si los conductores no son ideales, entonces el modo fundamental que se propaga es TM y no
el TEM debido a que aparecen componentes de E en la dirección de propagación, aunque si las pérdidas en los conductores son
pequeñas (como ocurre en la mayoría de los casos) el modelo de la línea es similar al modelo de la línea sin pérdidas que propaga
exclusivamente el modo TEM.

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Si se considera una línea de transmisión homogénea entonces:

Çw Çv
Çñ Çñ
= = M

Por lo tanto:

E F
Ç s Çf Ç sw wKsKv
Çñ Çñ Çñ
= ⇒ =
O O
NO O

E F
Ç f Çs Ç fv vKfKw
Çñ Çñ Çñ
= ⇒ =
O O
OO O

Las ecuaciones (1) y (2) se conocen como las ecuaciones diferenciales de la línea cuya solución es de la
forma:

E F
E ñJ à íFs s É ωγ= M P

E F
E ñ J à íFÇs s É
Çñ
γ ω
= γM Q

E F
E ñ J à íFÇ s s É
Çñ
γ ω
= γ
O
O
M RO

Ingresando (3) y (5) en (1) sin considerar la parte temporal de V:

E FsE J wKvFZM Z wKv àγ ⇒ γ = α + βO S

Donde γ representa la constante de propagación compleja de la línea.
Si se consideran ondas de tensión viajando en ambos sentidos de la línea:

wKv w Kv
E F
ñ J ñs s É s É= +N O T

w Kv w Kv
E F
ñ J ñÇs s sf É J= É
w Çñ w w
v v
= =
N O
U
N

De (7) y (8) se puede deducir de forma inmediata que:

[ ] E Fs ww
f v
= = ΩM V

La expresión (9) indica la relación que existe entre las ondas de tensión y corriente que se propagan por la
linea de transmisión y es conocida como la “Impedancia Característica Z0” de la línea.
Este modelo posee 2 componentes disipativos que representan las pérdidas que existen tanto en el
conductor (R) como en el dieléctrico (G) entre ambos. Además, de (6) y (9) :

ww
v
γ
= =
γ
M

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1.3 – Líneas sin pérdidas

Todas las expresiones desarrolladas hasta el momento, parten del modelo de 4 parámetros distribuidos
visto en la sección anterior. Si se considera que R y G de dicho modelo son iguales a cero (es decir se
anulan las componentes disipativas del modelo circuital) entonces estamos considerando que la línea no
posee pérdidas ni en los conductores ni en el dieléctrico. Estas condiciones sólo pueden darse en caso que
la conductividad del material sea considerada infinita y el dieléctrico debe ser el vacío.
Del modelo de la figura 1 y considerando R=0 y G=0 se puede escribir:

E F
s fJ=i
ñ í
∂ ∂
=
∂ ∂
NM

E F
f sJ=`
ñ í
∂ ∂
=
∂ ∂
NN

Donde:

w à i= ω
v à `= ω

Diferenciando (10) y (11) respecto a x y t:

E F
s fJ=i
ñ ñ í
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂
O O
NOO ; E F
s fJ=i
í ñ í
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂
O O
NPO


E F
f sJ=`
ñ ñ í
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂
O O
NQO ; E F
f sJ=`
í ñ í
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂
O O
NRO

Debido a que x y t son variables independientes entonces:

s s
í ñ ñ í
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂ ∂
O O
y f f
í ñ ñ í
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂ ∂
O O


Despejando de (12) y (15):

E F
s si`
ñ í
∂ ∂
=
∂ ∂
O O
NSO O

Despejando de (13) y (14):

E F
f fi `
ñ í
∂ ∂
=
∂ ∂
O O
NTO O

Las expresiones (16) y (17) representan la ecuación diferencial cuya solución es la función f(x ±vt) donde
el valor de v (velocidad de propagación) es igual a:

E Fî
i`
= NU
N

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Considerando una línea de transmisión coaxial sin pérdidas2, con radio del conductor interno a y externo
b los valores de inductancia y capacidad por unidad de longitud se calculan según las siguientes fórmulas:

[ ] E FÄi iåE F e ã~
µ
=
pi
M
NV
O


[ ] E F` c ãÄiåE F~
piε
=
M
OM
O


Introduciendo (19) y (20) en (18):

[ ] E Fî Å ã ë= =
µ ε
ON
M M
N ; [ ]Å ã ë≅ ⋅ UP NM

El coeficiente de propagación puede obtenerse teniendo en cuenta que según (3):

E F
E ñJ à íFs s É Ñ Eñ îí Fωγ= = ±M OO

Donde de (6):

àγ = α + β

Considerando que la línea no posee pérdidas, entonces la parte real de γ que representa la atenuación es
igual a cero por lo tanto:

ç E Fàγ = γ = β OP ; Ñ
î
β = piO

y según (21):

Ñ Ñ
î Å
piβ = pi = pi =
λ
OO O

Podemos concluir que la velocidad de propagación en la línea es igual a la velocidad de propagación en el
espacio libre, por lo tanto la longitud de onda en la línea tampoco varía respecto a la del espacio libre.

La impedancia Z0 puede ser calculada teniendo en cuenta que:

w à i= ω
v à `= ω

Entonces según (9):

E F
s à i iw
f à ` `
ω
= = =
ω
M OQ


2 Para el cálculo de la capacidad e inductancia de la línea se considera que los campos eléctricos y magnéticos poseen una
configuración TEM. Esta configuración de campos solamente se produce si la conductividad es considerada infinita, de esta
forma las corrientes solamente circulan por la superficie del material conductor.

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Ingresando los valores de (19) y (20) en (23):

E FÄw iåE F~
µ
=
pi ε
M
M OR
M
N
O


Una vez obtenidos Z0 y γ estamos en condiciones de obtener las expresiones de las ondas de tensión y
corriente. Según (7) y (8):

à
E F
Jà ññs s É s É ββ= +N O OS

à
E F
J à ññs sf É J= É
w w
ββ
=
N O
OT
M M


Escribiendo las ecuaciones (26) y (27) en el punto donde 3 x=0:

i E Fs s s= +N O OU
i O E Fw f s J s=M N OV

Sumando (28)+(29):

i i
E F
s w fs += MN PM
O


De la misma forma se demuestra que:

i i
E F
s J=w fs = MO PN
O


Considerando que la onda de tensión V1 es incidente a la carga ZL y V2 es reflejada por la misma (ya que
viaja en sentido opuesto a dicha carga) podemos calcular:

i i
i
i i
s s J=w f
s s w f
Γ = =
+
O M
N M


y considerando que:
i
i
i
sw
f
=
Entonces:

i
i E F
i
s w J=w
s w w
Γ = =
+
O M
PO
N M


El valor ΓL es conocido como el “coeficiente de reflexión” de la carga, que depende de la relación que
existe entre la Z0 de la línea y el valor de ZL. Dicha magnitud es vectorial de la forma:
i i iΓ = Γ φ

Su valor está entre 0 y 1 en el caso del módulo y entre 0o y 360o en el caso de la fase.


3 Por convención se considera el punto de origen de x en el extremo de la línea donde se encuentra la carga y aumenta en sentido
positivo hacia el generador.

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Los casos extremos son cuando se cortocircuita el extremo de la línea (es decir ZL=0) lo que resulta:
ç
ÅÅΓ = N NUM

O cuando se deja abierto el extremo de la línea (es decir ZL=∞ ) lo que resulta:

ç
Å~Γ = N M

Reescribiendo (26) y (27) según (32) y considerando módulo y fase del coeficiente de reflección
obtenemos:

i i Oà à
i i E F
àE J= ñF àE J= ñFñ ñs s É s É s É Éβ ββ βφ φ = + Γ = + Γ N N N PPN

i i Oà à
i i E F
ç ç ç
=àE J= ñF àE J= ñFñ ñs s sf É J É J É É
w w w
β ββ βφ φ = Γ = Γ N N N PQN

Cuando i OJ= ñβφ sea igual a múltiplos pares de pi, el valor de V será el máximo, es decir la suma en fase de
la onda incidente más la reflejada tendrá el siguiente valor:

[ ]ã~ñ i E Fs s += ΓN PRN

Cuando i OJ= ñβφ sea igual a múltiplos impares de pi, el valor de V será el mínimo, es decir la resta en fase
de la onda incidente más la reflejada tendrá el siguiente valor:

[ ]ãáå i E Fs s J= ΓN PSN

Las expresiones (33) y (34) demuestran que en una línea de transmisión por la cual circulan señales de
alta frecuencia, si la impedancia de carga ZL no es igual a Zo, entonces los valores de tensión y corriente
no se mantienen constantes a lo largo de la misma, sino que forman un patrón de onda estacionaria (si Zo
es igual a ZL entonces no hay onda de tensión reflejada y no se forma la onda estacionaria) como el que se
observa en los siguientes gráficos:


0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
00,511,52
Lambda
V / Vinc
Circuito abierto
Corto circuito

Figura 2: Ondas estacionarias de tensión para una línea de transmisión terminada en cortocircuito (ZL=0) y circuito abierto
(ZL=∞ ) en función de la distancia desde la carga expresada en unidades de lambda λ. El eje de las ordenadas está normalizado a
la amplitud de la onda de tensión incidente a la carga

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0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
00,511,52
Lambda
V / Vinc
Mod 0,8 Fase 90
Mod 0,8 Fase 270

Figura 3: Ondas estacionarias de tensión para una línea de transmisión terminada en cargas ZL cuyo çIΓ = M U VM y
çIΓ= MU OTM en función de la distancia desde la carga expresada en unidades de lambda λ. El eje de las ordenadas está
normalizado a la amplitud de la onda de tensión incidente a la carga


0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
00,511,52
Lambda
V / Vinc
I / Iinc
V - CA
I - CA

Figura 4: Ondas estacionarias de tensión y corriente para una línea de transmisión terminada circuito abierto (ZL=∞ ) en función
de la distancia desde la carga expresada en unidades de lambda λ. El eje de las ordenadas está normalizado a la amplitud de la
onda de tensión incidente a la carga


Según se puede observar en las figuras, las ondas de tensión y corriente incidente y reflejada forman un
patrón de onda estacionaria a lo largo de la línea de transmisión del cual es posible expresar la relación
entre la tensión y corriente máximas y mínimas de dicha onda estacionaria. Haciendo el cociente entre
(35) y (36) se obtiene:

[ ]
[ ]
ã~ñ ã ~ñ i
E F
ãáå ã áå i
s folb
s f J
+ Γ
= = =
Γ
PT
N
N


Donde la ROE o “Relación de onda estacionaria” es una magnitud escalar que varía entre uno (si ZL=Zo)
e infinito (si ZL=0; ZL=∞ ).
En la figura 4 pude apreciarse que la onda estacionaria de corriente está desfasada 0,5 λ respecto de la de
tensión. Esto quiere decir que en el punto de máxima tensión se encuentra el punto de mínima corriente y
viceversa. En estos puntos el valor de impedancia que presenta la línea puede expresarse de la siguiente
forma:

ã~ñw w olb= ⋅M y ãáå ww
olb
=
M

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Además se observa que la onda estacionaria posee un período de 0,5 λ, lo que significa que los valores de
impedancia que presenta la línea sin pérdidas se repiten indefinidamente cada 180o eléctricos o “media
longitud de onda” a lo largo de la misma.
Al ser los valores de tensión y corriente variables, carece de sentido realizar mediciones basándose en
dichos parámetros debido a que el resultado de las mismas será dependiente de la posición donde sean
efectuadas (además de las dificultades técnicas de medir correctamente tensiones o corrientes en el rango
de las radiofrecuencias o más).
Cuando se quiere medir sobre sistemas o elementos de alta frecuencia donde las señales son transportadas
por medio de líneas de transmisión, dichas mediciones deberán efectuarse basándose en las ondas de
tensión incidente y reflejada V1 y V2 debido a que sus amplitudes son constantes4 y no dependen de la
posición donde se efectúa la medición, además permiten calcular directamente los parámetros del sistema.
Utilizando las expresiones (33) y (34) y asumiendo que Zo es un valor netamente real se pueden calcular
las potencias en ambos sentidos:

áåÅ áåÅ áåÅ E F
çç
s s sm s f
KwKw
= ⋅ = ⋅ =
O
N N N
PU
OO O

êÉÑ êÉÑ êÉÑ E F
çç
s s sm s f
KwKw
= ⋅ = ⋅ =
O
O O O
PV
OO O


Utilizando la expresión (32) se llega al valor de ΓL de la siguiente forma:

i
s
s
Γ = O
N
y i s =J= sφ = O N

Una vez conocido el valor de ΓL y sabiendo el valor de Zo utilizando (32) es posible conocer el valor de la
impedancia ZL de la siguiente forma:

i
i ç E F
i
w w
J=
+Γ
= ⋅
Γ
QM
N
N


Los instrumentos modernos de medición de parámetros en RF y microondas, poseen complejos detectores
capaces de medir el módulo y la fase de las ondas de tensión V1 y V2 en cada uno de sus puertos
(conocidos como VNA o “Vector Network Analyzer”), por lo tanto mediante una medición rápida se
conoce el valor de ΓL conectado al puerto correspondiente. Además se pueden determinar otros
parámetros adicionales si se conectan dispositivos pasantes entre dos o más puertos (por ejemplo
midiendo la onda de tensión V1 incidente en un puerto y reflejada V2 en otro).
La medición de ondas de tensión incidentes y reflejadas en más de un puerto en forma simultanea
constituye la base fundamental de los parámetros conocidos como s o “Scattering” que se desarrollarán en
las siguientes secciones.
También existen variedad de sistemas que utilizando principios bolométricos, termocuplas y/o detectores,
se encargan de medir las potencias Pinc y Pref (que al igual que V1 y V2 y según (38) y (39) son constantes
independientemente de la posición) sin la necesidad de utilizar un sistema costoso como un VNA.
Determinando Pinc y Pref es posible por medio de (38) y (39) conocer el valor de las magnitudes de V1 y
V2 y, por medio de estas, conocer la magnitud del ΓL y el valor de la ROE. La medición de las potencias
incidente y reflejada en una línea es fundamental cuando se quiere verificar la correcta adaptación de una
carga (por ejemplo una antena a su correspondiente línea de alimentación) donde el valor de iΓ nos dice
cuanta potencia es reflejada indeseadamente hacia el generador y el valor de la ROE no indica las
sobretensiones presentes en el sistema.


4 En realidad solamente son constantes si se considera que la línea no tiene pérdidas o bién dichas pérdidas son bajas y pueden ser despreciadas.
El sistema de medición a su vez debe estar diseñado con líneas de longitudes mínimas que permiten despreciar totalmente las pérdidas desde el
punto de interés hasta el medidor.

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Las ecuaciones (32) y (40) muestran que dado un valor de Zo determinado, para cada valor de ZL existe
un valor de ΓL que satisface ambas ecuaciones.
Si consideramos el semiplano cartesiano que conforma el dominio de las impedancias ZL= R +jX (R≥0),
podemos definir también un dominio para los valores de ΓL. Reescribiendo (40):

i i
i E F
ç i
w ò
w J=
+Γ
= =
Γ
QN
N
N


Donde zL presenta la impedancia normalizada, ingresando en (32):

i
i E F
i
ò J=N
ò +
Γ = QO
N


La ecuación (41) representa una transformación conforme entre el dominio de ΓL y ZL y puede ser
reescrita de la siguiente manera:

E F
ì àîàñ
J=ì=J=àî
+ +
τ + = QP
N
N


Donde
ç
o àuàñ
w
+
τ + = y ì àîΓ = +
La ecuación (43) puede reescribirse ordenando términos y separando los términos real e imaginario:

O O
E FO
J=ì J=î
E J=ìF î
τ =
+
QQO
N
N


E FO
îñ
E J=ìF î
=
+
QRO
O
N


La expresión (44) puede ser reescrita de la siguiente forma:

E Fì J= î
NH
τ   
+ =   
τ + τ   
O O
O
QS
N
N


Analizando la expresión (46) se advierte que en el dominio de ΓL los valores de τ (reales) forman
circunferencias centradas en
NH
τ
τ
y con radio
+ τ
N
N
.

De la misma forma (45) puede reescribirse:

( ) E FNì J=N î J=
ñ ñ
   
+ =      
O O
O
QT
N


En la expresión (47) se advierte que en el dominio de ΓL los valores de x (imaginarios) forman
circunferencias centradas en (1;
ñ
N ) y con radio
ñ
N .

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Entonces el plano cartesiano que conforma ZL= R +jX queda conformado en el dominio de ΓL de la
siguiente forma:

Figura 5: diagrama de Smith para carga pasivas (R ≥0)

Todo el conjunto de los ΓL posibles se encuentran incluidos dentro de un círculo de radio igual a 1, el
mismo es el de mayor radio posible centrado en cero y se forma por medio de (46) cuando τ es igual a
cero (R ≥0 siempre debido a que se consideran cargas pasivas conectadas a la línea).
Este diagrama conocido como “diagrama de Smith” es sumamente útil debido a que se ingresa al mismo
con la impedancia de carga ZL normalizada a Zo y en forma gráfica se obtienen la mayor parte de los
parámetros de interés en la línea sin necesidad de cálculo alguno.
Es interesante observar que una vuelta completa del diagrama de Smith corresponde a 0,5 λ y luego se
repiten todos los valores nuevamente si la línea se considera sin pérdidas (si la línea posee pérdidas
apreciables, entonces el gráfico posee escalas de conversión aproximada).



Figura 6: diagrama de Smith completo

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1.4 - Efecto de las pérdidas en la línea de Aire

Si se considera que la línea de aire no posee conductividad infinita en sus conductores internos y externos
(caso real) entonces según la fórmula de efecto skin la profundidad de penetración estará dada por:
Å Å
E Fë
Ñ
=δ
piµ σ
N
N

Se observa que si la conductividad σ no es infinita entonces la profundidad de penetración de la corriente
en el material no es cero, la distribución de corrientes deja de ser netamente superficial y la densidad de
corriente se distribuye hacia el interior del material. Según la fórmula (1) el efecto es inversamente
proporcional a la frecuencia, es decir que a medida que ésta disminuye, la distribución de las corrientes se
aleja del modelo ideal planteado inicialmente, donde las mismas solamente eran conducidas por las
superficies del material, lo que significa que los campos electromagnéticos ya no estarán confinados
exclusivamente en el dieléctrico entre ambos conductores (en nuestro caso es aire).

Supongamos que se posee una línea infinitamente larga, concéntrica, donde el conductor externo se
extiende infinitamente en el plano de la figura, la dirección de propagación es perpendicular al plano de la
figuar (+z) y ambos conductores son del mismo material y entre los mismos hay un dieléctrico compuesto
por aire solamente:

σ>0







A continuación se plantean las ecuaciones del campo eléctrico para las 3 regiones. La componente Er en
dirección del radio desde el centro de la línea y Ez en dirección de propagación +z. También se plantea la
ecuación del campo magnético en dirección del ángulo Ø alrededor del eje de la linea:

( )
( )
( )
N
E Fê
ê ~
~ ê Ä
Ä ê
f=g Ü ê
J òb ^ w Ü ê
_e Ü ê
É
<
< <
<

γ
= 

N
ON O
N P


( )
( )
( )
MN
ò E F
ç
ç
ê ~
~ ê Ä
Ä ê
f Ü =g Ü êJ ò
b ^Ü w Ü ê
_Ü e Ü ê
É
≤
≤ ≤
≤
γ 
= γ 
M
N
PO O
P P



ê
E Fê
ê
v ê ~
~ ê Ä
Ä ê
b
e v b
v b
θ
≤
≤ ≤
≤


= 

N N
QO O
P P

Donde I, A, B, h1, h2 y h3 son constantes, γ es la constante de propagación compleja y Ji, Zi y Hi son
componentes de Bessel de primera y tercera especie. Yn son las admitancias de cada medio en función de
la dirección de los campos de interés es decir:
á
å
áêá
e àâv
b
φ
= =
ωµγ
O

2a 2b

Líneas de Transmisión y parámetros S

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Además:

E Fá á áw EñF g EñF d k EñF= + R

á á á E FÜ â= + γO O SO

Donde Ni es una función de Bessel de segundo orden o de “Newmann” y G es una constante.
Para encontrar las expresiones correspondientes a los campos eléctrico y magnético en la región del
dieléctrico (que es la que nos interesa) se deben hallar las expresiones de Ji, Ni, hi y G.
Para comenzar se plantean las condiciones de contorno. Las mismas exigen que tanto en r=a como en r=b
las componentes de campo Ez y HØ tangenciales, deben ser iguales en ambos lados de la interfaz entre
dieléctrico y conductor. Planteando estas condiciones en las ecuaciones y luego de varias simplificaciones
se llega a las siguientes expresiones:

En r=a

p p E F
p
EÜ~Fw âw g EâK~ w F
w EÜ~F Ü g EâK~ w F
∗=
MM
N
T
N


En r=b

p p E F
p
EÜÄFw âw e EâKÄ w F
w EÜÄF Ü e EâKÄ w F
∗=
MM
N
U
N


Donde:

â pi= λ
O ; Ü Ü≡ O
ëë =EfãéK=åçêã~äáò~Ç~=ÇÉä=ÅçåÇìÅíçêFòw Z= ηM ; EáãéÉÇ~åÅá~=ÇÉä=î~Å∞çF
µη =
ε
M
M
M
y ëë â E àFò δ += N
O


La expresión de los campos en el dieléctrico (a< r <b) tienen la siguiente forma:

ê E F
J òb ^c EêIÜFÉ γ= N V

ò E F
J ò^Üc EêIÜFÉb
γ
=
γ
M
NM

ê E Fe v bφ = NN

Donde:

Ü^
d
pi
=
O
; E FJ Üc EêI ÜF w EÜê F
d
pi
=N N NO
O
; E FJ Üc Eê IÜF w EÜê F
d
pi
=M M NP
O


Utilizando las ecuaciones (5) a (8) se llega a las siguientes expresiones que permiten conocer los valores
de G y de h necesarios para ingresar en las expresiones (9) a (13):

Líneas de Transmisión y parámetros S

Ing. Hernando Silva Página 15 de 56
M ë
E F
ë k
âKòg EÜK~F=J=gE F g EÜK~FÜJdEÜFZ âKòk EÜK~F J gE F EÜK~FÜ
∗
∗M
N
NQ
N


[ ] [ ]M N M N N Më E FÜ g EÜK~Fk EÜKÄFJ=g EÜKÄFk EÜK~F Jgâò g EÜK~Fk EÜKÄF g EÜKÄFk EÜK~FJ g EÜK~Fk EÜKÄFJ g EÜKÄFk EÜK~F= +M M M N N M NR


- Conductividad Infinita

Si consideramos que el material posee una conductividad infinita (zs =0), la ecuación (15) se reduce a la
siguiente expresión:

[ ]M N E FÜ g EÜK~Fk EÜKÄFJ=g EÜKÄFk EÜK~F =M M NSM

Donde los valores de h posibles son:

ã
EãçÇç=ÑìåÇ~ãÉåí~äF
EãçÇçë=ëìéÉêáçêÉëF
I ====
Ü
â I ==

= 
M


Los valores de km para los distintos modos de propagación, se calculan a partir de los autovalores de la
expresión entre corchetes de (16):

M Nã ã ã ãg Eâ K~Fk Eâ KÄFJ=g Eâ KÄFk Eâ K~FZMM M

Una vez obtenidos los valores de km , es posible calcular los valores de G para los distintos modos
utilizando la expresión (14) con zs =0 y h= km . Resolviendo (14) para h=0 (modo fundamental) y
utilizando (5) se llega a las siguientes soluciones:

c EêI F
ê
=N
NM , c Eê I F =M M M , êve bφ = , v
ε
=
µ
M
M
, ç àâγ = γ =

Estas expresiones en (2) y (4) representan las ecuaciones de campo Er y HØ para el modo TEM (Ez=0)
fundamental de las líneas sin pérdidas vistas en el capítulo 1.

- Conductividad finita

Si consideramos que el material conductor posee una conductividad que no es infinita, entonces zs >0 y la
ecuación (15) no puede ser reducida a (16). Una solución aproximada de la misma se puede hallar si se
expande dicha expresión en una serie de Taylor alrededor de h=0 y considerando solo el término de
primer orden de dicha serie. Ambas aproximaciones se basan en el hecho que la conductividad de
cualquier material utilizado para una línea de transmisión de calidad metrológica, si bien no es infinita,
posee un valor muy elevado, lo que permite asegurar que la solución de la ecuación (15) para el modo
fundamental de propagación TM estará bastante cerca de la solución del modo TEM encontrada en caso
de considerar al conductor ideal, según lo visto anteriormente.
Una vez hecha la expansión por Taylor y considerado sólo el primer término de dicha serie encontramos
que:

ë
E F
âò E Ä ~FÜ à
ÄiåEÄ ~F
+
=
O
NT
N

Donde el valor de h corresponde al modo fundamental TM de propagación en la línea con pérdidas.

Líneas de Transmisión y parámetros S

Ing. Hernando Silva Página 16 de 56

De la misma forma, la expresión (14) puede ser aproximada por una serie de Taylor considerando sólo el
primer término de dicha expansión, lo cual resulta en la ecuación:

ë
E F
Ü O âòJ=ÜiåE F à
dEÜF ÅÜ~ Ü~
pi
= + NU
O


Donde c corresponde al número e elevado a la constante de Euler.

Las expresiones de h y G(h) calculados en (17) y (18) pueden ingresarse en (12) y (13) y por medio de (5)
encontrar las expresiones finales de c EêIÜFN y c EêIÜFM :

ê
E F
êÉc EêI ÜF
ê
+
=N NV
N

ê E F
Ü ê Ä äåE Ä ~FêÉ iåE F J=
ê NHÄ ~
 
= +  
O O
OM
N
O O


E F
Ä äåE Ä ~Fc Eê IÜF Ü iåE F J=
ê NHÄ ~
 
=   
M ON

Ingresando las expresiones (20) y (21) en las ecuaciones (9) a (11) se llega a las expresiones de campo en
el dieléctrico:

ê J w
ê E F
êÉb É
ê
+ γ
= OO
N

J w
ò E F
ç
^Ü Ä äåE Ä ~Fb äåE F J=
ê NHÄ ~
É  γ=  γ  
OP

w
ê E F
^v Ü Je êÉ
ê â
Éφ   γ= + +  
O
OQON O


Donde de (6):

O O
O
E FO O
Ü ÜÜ J â àâ J àâE J F
â Oâ
γ = = ≅O ORN N

Además:

( )á å ê êå O O
áê
O O
e àâ àâ v ^v ^v Üv êÉ êÉ
Ü Üb ê ê âàâE J F E J F
Oâ Oâ
φ  
= = = = ⇒ + ≅ + + 
ωµγ  
ωµ
O O O
ON N ON N


Es interesante observar que para el modo TM fundamental, el valor de h de la expresión (17) es un valor
complejo, por lo tanto el valor de γ según (25) y considerando que k es siempre un valor real y mayor a
cero (dependiente de la frecuencia) resulta:

~ àÄγ = ±

Líneas de Transmisión y parámetros S

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Esto significa que el modo TM fundamental se propaga con un coeficiente de propagación b y un factor
de atenuación a (que es cero sólo si se considera una línea sin pérdidas).
Para modos de propagación superiores:

ã ã ãÜ â â= + δ

Donde:

ë ~Äã Ä~ã
ã
ã Ä~ã ~Äã
àâò Et t Fâ
â E~t Ät F
+δ =
+
y ~Äã ã ã N ã M ãt g Eâ K~Fk Eâ KÄFJ=g Eâ KÄFk Eâ K~F= M N

Una vez obtenidas las expresiones de los campos en el dieléctrico entre los conductores de la línea de aire
con pérdidas, podemos encontrar la expresión de la impedancia característica Z0 de la misma.
Según lo visto en la sección 1.2:

E F
w w v w v
w
γ = = = ⋅M OS
M
i

E Fw w
v
=M OT

Donde:

w o à i= + ω y v d à `= + ω

R, G, L y C son los parámetros distribuidos del modelo de la línea desarrollado en la sección 1.2
considerando las pérdidas.
Utilizando las expresiones (22) y (24) de los campos electromagnéticos para la línea de aire con pérdidas
para el modo fundamental TM se obtiene:

Ä
ê
i ~ E F
i ~
b Çê
sw
f ~Ee Fφ
= =
pi
∫
M OU
O


Una vez hallado el valor de Zo en (28) y conociendo el valor de γ de la fórmula (25), ingresando dichos
valores en (26) y (27) estamos en condiciones de poder calcular las expresiones de los parámetros
distribuidos de la línea de aire con pérdidas. Los valores finales son:

ç E F
â ~ co iÇ E J F= ω
O O
M
OVO N
O
E Fd `Ç â ~ c= ω O OM M PN
ç E F
â ~ ci i Ç E J F = +  
O O
M
M PMN O N
O
ç E F` ` E Ç â ~ c F= + O OM M PON

Donde:

O
E F
EÄ ~ =J=NF EÄ ~F iåEÄ ~F N Äc J J
iåEÄ ~F Ä ~ O ~
 
= ⋅ + +  
O
M PPN
O N
; ë E FE Ä ~FÇ
ÄiåEÄ L ~F
δ +
=M PQ
N
Q

Líneas de Transmisión y parámetros S

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ç
äåEÄ ~Fi µ=
piO
; ç`
iåEÄ ~F
piε
=
O

Se puede observar que si δs=0 (la profundidad de penetración es cero) entoncesÇ =M Mpor lo tanto:

R=0 ; G=0 ; L=Lo ; C=Co

iw w
`
∞= =M

50,0
50,1
50,2
50,3
50,4
50,5
1,E+06 1,E+07 1,E+08 1,E+09 1,E+10
Frecuencia [Hz]
M
ód
u
lo

Zo

[o
hm
]

Figura 7 – Variación del módulo de Z0 con la frecuencia para la línea de aire ZV-Z26, patrón de impedancia
del laboratorio de RF y microondas del INTI.


-0,60
-0,50
-0,40
-0,30
-0,20
-0,10
0,00
1,E+06 1,E+07 1,E+08 1,E+09 1,E+10
Frecuencia [Hz]
Fa
se

Zo

[G
ra
do
s]

Figura 8 – Variación de la fase de Z0 con la frecuencia para la línea de aire ZV-Z26, patrón de impedancia
del laboratorio de RF y microondas del INTI.

Líneas de Transmisión y parámetros S

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0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
1,E+06 1,E+07 1,E+08 1,E+09 1,E+10
Frecuencia [Hz]
G
am
m
a
[m
U]

Figura 9 – Variación del módulo del coeficiente de reflexión Γ con la frecuencia para la línea de aire ZV-Z26.

En las figuras 7 y 8 se puede observar que al contrario de lo visto en la sección anterior donde para la
línea sin pérdidas el valor de impedancia característica Zo era un valor real y constante con la frecuencia,
en una línea real dicho valor es variable y posee parte imaginaria (las ondas de tensión y corriente no
están en fase). Además se observa que el módulo de Zo aumenta gradualmente cuando la frecuencia
disminuye y lo mismo ocurre con la fase.
Estos resultados indican que si se pretende implementar una línea de aire como patrón de impedancia,
esta debe ser utilizada por encima de una frecuencia donde el valor de la profundidad de penetración δs
calculado mediante la expresión (1) puede despreciarse y Zo pueda ser considerado igual al valor de Zo de
la línea sin pérdidas (el cual es constante y determinado por los parámetros de la línea y constantes
físicas).
En general se recomienda que una línea de aire patrón, debe ser usada en frecuencias por encima de los
500 MHz para poder considerar su impedancia Zo igual al valor de la impedancia de la línea ideal sin
pérdidas. Por debajo de esa frecuencia podemos considerar una incertidumbre en su Γ de acuerdo a la
curva de la figura 9.

Líneas de Transmisión y parámetros S

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2- Parámetros S

2.1 – Definición

En la sección 1.2 se demostró que en una línea de transmisión homogénea la tensión total V y la corriente
total I a lo largo de la misma es la suma de 2 ondas que viajan en ambos sentidos de la misma.
A su vez también se demostró que existe un valor de Zo que relaciona a las ondas de tensión y de
corriente llamado “impedancia característica”.
Si consideramos una carga ZL conectada al final de dicha línea, entonces según la expresión (32) de la
sección 1.3 la onda incidente y la reflejada guardarán una relación iΓ .
La potencia incidente a la carga se calcula según (38) de la sección 1.3:

áåÅ áåÅ áåÅ
çç
s s sm s f
KwKw
= ⋅ = ⋅ =
O
N N N
OO O


De forma similar para la potencia reflejada según (39):

êÉÑ êÉÑ êÉÑ
çç
s s sm s f
KwKw
= ⋅ = ⋅ =
O
O O O
OO O


Las ondas de tensión V1 y V2 pueden reescribirse normalizándolas respecto del valor de la raíz cuadrada
de Zo entonces:

E F
ç
s~
w
=
N
N

E F
ç
sÄ
w
=
O
O

Donde a y b son las ondas de tensión normalizadas incidente y reflejada por ZL.
Además según la expresión (32):

i
i E F
i
s Ä w J=w
s ~ w w
Γ = = =
+
O M
P
N M


Utilizando (1) y (2) podemos reescribir las potencias de la siguiente forma:

áåÅ E F
ç
s ~m
Kw
= =
O O
N
Q
O O


êÉÑ E F
ç
s Äm
Kw
= =
O O
O
R
O O


Estas expresiones permiten representar a la carga ZL conectada a una línea Zo por medio del siguiente
modelo de flujo de señal:






a
b
iΓ

Líneas de Transmisión y parámetros S

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Donde de (3):

i E FÄ ~= Γ ⋅ S

También se puede escribir utilizando (3) (4) y (5):

( )áåÅ êÉÑ E Fm J=m ~ J= Ä= O O TN
O


êÉÑ
i E F
áåÅ
m Ä
m ~
Γ = =
O
O
UO

Las expresiones (1) y (2) pueden generalizarse para dispositivos de más de un puerto dando como
resultado:

â
â áåÅâ E F
çâ
s~ m
w
⋅= =
N
VO

â
â êÉÑâ E F
çâ
sÄ m
w
= = ⋅
O
NMO

Donde k es el número de puerto del dispositivo y Zok es la impedancia característica de cada puerto.

Asumiendo que el dispositivo multipuerto es lineal, las distintas ondas reflejadas de cada uno de los
puertos pueden ser expresadas como combinaciones de todas las ondas incidentes es decir:
å
â âà à E K~ F
à
Ä p ~ â å
=
= ⋅ ≤ ≤∑ NN
N
N
Donde n es la cantidad de puertos y los Sjk definen un juego de parámetros que se conocen como
parámetros S o “scattering”. También puede escribirse en notación matricial de la siguiente forma:

[ ] ( ) [ ]å å E KÄ FåñåÄ p ~= ⋅ NN

La matriz S está formada por el juego de parámetros S, [an] y [bn] son los vectores n x 1 de las ondas de
tensión incidentes y reflejadas a cada puerto.

Si consideramos un dispositivo de n=2 puertos podemos escribir:

E FÄ p ~ p ~= +N NN N NO O NO

E FÄ p ~ p ~= +O ON N OO O NP

O bien en notación matricial:

Ä p p ~
Ä p p ~
     
=          
N NN NO N
O ON OO O


Este sistema de ecuaciones describe a las ondas reflejadas (salientes) de ambos puertos en función de las
ondas incidentes multiplicadas por los coeficientes definidos como los parámetros S del dispositivo.

Líneas de Transmisión y parámetros S

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El dispositivo de 2 puertos descripto por medio de las ecuaciones (12) y (13) puede ser modelizado por un
diagrama de flujo de señal como el que sigue:








En el diagrama se observa que existen parámetros de “reflexión” Skk que cuantifican la señal reflejada en
función de la incidente al puerto y parámetros de “transferencia” Skj ( )à â≠ que cuantifican la la señal que
se transmite entre los puertos del elemento, todas son cantidades complejas (con parte real e imaginaria).
Para poder definir individualmente los distintos parámetros y teniendo en cuenta las ecuaciones (12) y
(13) se deben aplicar restricciones, por ejemplo de (12):

Äp
~ ~ =
=
N
NN
N O M


Esto nos dice que si queremos medir el parámetro S11 debemos anular la señal incidente al puerto 2, lo
cual puede lograrse si se conecta una carga en el puerto 2 con un valor igual a la impedancia Zo de dicho
puerto, es decir iΓ = M . Para medir los parámetros de transferencia, por ejemplo S21:

Äp
~ ~ =
=
O
ON
N O M


Este caso es más complejo ya que se debe medir la señal saliente del puerto 2 anulando simultaneamente
la señal incidente a dicho puerto lo cual en general es bastante dificultoso de lograr por lo que aparecen
señales residuales incidentes al puerto. En la sección 2.3 se describen métodos gráficos utilizando
diagramas de flujo capaces de despejar parámetros de transmisión considerando las señales residuales.

Si se considera un dispositivo de N puertos:

à
â ââ âà
Ä ~p p
Ä p p ~
        
=             
N NNN N
N
…
vertellipsis vertellipsis downslopeellipsis vertellipsis vertellipsis
midhorizellipsis


Las condiciones para poder definir y medir los parámetros de “reflexión” y “transferencia” son las
mismas excepto que en este caso para medir los Skk hay que anular la señal incidente de todos los puertos
restantes y para medir los Skj ( )à â≠ se debe medir la señal saliente en el puerto k anulando las señales
incidentes al puerto k y al resto de los puertos excepto el puerto j de exitación.

Ejemplos de cálculos para cuadripolos reales

Ejemplo 1: Se presenta en la siguiente figura el circuito de dos puertos correspondiente a un atenuador de
6 dB.







b1
b2
a2
S11 S22
S12
S21
3Z0 3Z0
3Z0/4
Figura 10: diagrama de flujo de señal para un dispositivo de
2 puertos
a1

Líneas de Transmisión y parámetros S

Ing. Hernando Silva Página 23 de 56

Donde Zo es la impedancia característica del sistema con el que se interconecta (es decir que todos los
puertos del sistema comparten la misma Zo), para calcular S11 procedemos a cargar con Zo el puerto de
salida del lado contrario del dispositivo (anulando de esta manera la señal incidente al puerto 2), por lo
tanto la Zt vista desde afuera es igual a:










í
í
w
v
=
N

í
ç ç ççç
ç ç
v
w w www
w w
= + = + =
+
+
N N N N N
N PP PP OQ N N
P


Para calcular S11 se debe determinar el coeficiente de reflexión de entrada que relaciona a1 y b1 con la
salida cargada, dicho coeficiente está definido y se calcula por medio de (3):

í ç ç ç
á
í ç ç ç
Ä w J=w w J=wp
~ w w w w
= = Γ = = =
+ +
NN M

Para calcular S21 y sabiendo que S11=0 solamente se debe calcular el divisor resistivo formado por la celda
central del circuito y la salida cargada con Zo (anulando de esta manera la señal incidente al puerto 2):
ç
ç ç
ç çç
ç ç
ww wp
w ww
w w
+
= = =
++
+
ON
N
N N P
P Q N
ON P PP Q QQ N N
P


Teniendo en cuenta que el circuito es simétrico, podemos inferir que los parámetros S del circuito son
recíprocos, por lo tanto en ambos sentidos de circulación el diagrama de flujo de señal es el mismo
entonces:

p p= =NN OO M
Çp p EJ _F= =NO ON N SO

La matriz S queda de la siguiente forma:

[ ]p  =   
M NN
N MO


La matriz resultante indica que el circuito es simétrico con impedancia característica Zo igual a la Zo del
sistema y que la señal que atraviesa el cuadripolo es atenuada en un factor de 0,5 (si se conecta en uno de
3Z0 3Z0
3Z0/4
Zt
Z0

Líneas de Transmisión y parámetros S

Ing. Hernando Silva Página 24 de 56
los puertos un generador con Zg=Zo y una carga con valor Zo en el otro puerto, entonces el circuito
entrega a la carga la señal del generador multiplicada por 0,5 o -6dB).

Ejemplo 2: se presenta un circuito con una impedancia en serie con valor igual a la Zo del sistema






Para calcular S11 procedemos a cargar con Zo el puerto 2 y como resultado inmediato la Zt de entrada es
igual a:

í çw w= O

Y al igual que en el ejemplo anterior:

í ç ç ç
á
í ç ç ç
Ä w J=w w J=wp
~ w w w w
= = Γ = = =
+ +
N
NN
N
O N
O P


A diferencia del caso anterior S11 no es cero por lo tanto Ä ≠N M , lo que significa que el valor total de
tensión en el puerto de entrada con Zo conectada a la salida no es solamente la amplitud de la onda
incidente a1, por medio de (1) y (2) aplicadas a (28) de la sección 1.3 obtenemos:

( )ç E Fs w ~ Ä= +N N N NQ

Y por (6):

( )ç ç E Fs w ~ á~ w ~= +Γ =N N N N NRQ
P


La tensión total en el puerto 2 estará dada por la tensión en el puerto 1 calculada en (15) y el divisor
resistivo formado por la única resistencia en serie y la carga Zo conectada al puerto 2, al ser ambas del
mismo valor resulta:

ç E Fs w ~=O N NSO
P


El puerto 2 se encuentra cargado con un valor igual a su Zo por lo tanto a2=0. Aplicando (14) a dicho
puerto:

( )ç ç E Fs w ~ Ä w Ä= + =O O O O NT

Igualando (16) y (17) y teniendo en cuenta que a2=0:

ç ç
Äw Ä w ~ p
~ ~ =
= ⇒ = =OO N ON
N O M
O O
P P


Al igual que en el caso ejemplo anterior el circuito es simétrico entonces:

p p= =NN OO N P
p p= =NO ON O P
Z0

Líneas de Transmisión y parámetros S

Ing. Hernando Silva Página 25 de 56

La matriz S queda de la siguiente forma:

[ ]p  =   
N ON
O NP


Esta matriz resultante nos indica que el cuadripolo no posee el mismo valor Zo de impedancia
característica que los puertos del sistema5, por lo tanto no es adecuado para insertar en un sistema que
tenga definido ambos puertos con un valor de impedancia característica Zo.
Como en ambos ejemplos analizados hasta ahora el circuito es simétrico, podemos observar que las
matrices S resultantes son simétricas, lo que indica que si el circuito es simétrico entonces:

q
ãå åãp p p p= ⇒ =

Ejemplo 3: Se presenta un circuito con un resistor en serie y otro en paralelo utilizado para adaptar dos
puertos con distintas impedancias características a cada lado del cuadripolo, esta configuración es
conocida como “Matching Pad”:









En este ejemplo la impedancia del puerto 1 es de 75 Ω y la del puerto 2 es de 50 Ω. Dicho circuito debe
presentar impedancias imagen a cada puerto del sistema coincidente con la característica del mismo a fin
de lograr una correcta adaptación en ambos sentidos.
Al igual que en los ejemplos anteriores para calcular los parámetros S11 y S22 comenzamos calculando el
valor de la impedancia de entrada de ambos lados con la salida del lado opuesto cargado con el valor de
Zok:

ç
í
oo ww o o o
o w o
o w
⋅ ⋅
= + = + = +
+ ++
O MO O
N N N N
O MO O
O O
RM
RM
N
N N

( )
( ) ( )
ç
í
o w o o ow
o o w o o
o w o
+ +
= = =
+ + + ++
+
O MN N O N
O
N O MN N O
O N N
TR
TR
N
N N

Luego por medio de (3) para ambos puertos:

í ç í
í ç í
Ä w J=w w J=p
~ w w w
= = Γ = =
+ +
N N N N
NN N
N N N N
TR
TR


í ç í
í ç í
Ä w J=w w J=p
~ w w w
= = Γ = =
+ +
O O O O
OO O
O O O O
RM
RM


5 Si las componentes de la diagonal principal de la matriz S son nulas, significa que el dispositivo posee
impedancias imagen iguales a las impedancias características de los puertos del sistema con el que se interconecta.
Cuando todos los puertos poseen la misma impedancia característica, dicho valor también corresponde a la
“impedancia característica” del dispositivo.
R1
R2
75Ω 50Ω

Líneas de Transmisión y parámetros S

Ing. Hernando Silva Página 26 de 56

Para que dicho circuito cumpla el objetivo de adaptar correctamente ambos puertos con distintas
impedancias, debe presentar coeficientes de reflexión S11 y S22 nulos, lo que significa que:

í çw J=w =N N M y í çw J=w =O O M

Entonces debe cumplirse que:

( )o o ooo J = J o
o
Ω ⇒⋅+ = + =
+
O
N O N O N NU
O
RM
RM
TR OR RM PTRM M

( )
( )oo o Ho o J o J
o o
Ω ⇒+ = =
+ +
O N
O N O N NV
N O
TR
TR
RM OR RM PTRM M

Luego igualando (18) y (19) resulta:

o Ko =O N PTRM

Ingresando este resultado en (19):

o Ko=O NO

Finalmente:

o IKo ⇒ = Ω=ON NPTRM QP PO
o I= ΩO US S

Conocidos los valores de R1 y R2 pueden calcularse los parámetros de transferencia del cuadripolo. Por
definición el parámetro S21 es igual a:
Äp
~ ~ =
=
O
ON
N O M


Utilizando las expresiones (1) y (2) para a1 y b2 tenemos que:

ç
ç
s
s swp p Is s s ~~
w ~
=
=
=
= ⇒ = ⋅ = ⋅
O
O OO
ON ON
N N N O MO M
N O M
TR
RM
N OOQT

V1 y V2 representan las tensiones de entrada y salida en los puertos 1 y 2. El cociente entre V2 y V1 se
halla resolviendo el divisor resistivo formado por R1 y el paralelo de R2 con Zo2 conectada a la salida para
que a2=0.

ç
ç
s o oo w p I Io o o os o o o oo
o w
 +  
= = ⇒ = ⋅  + + + ++ +  
O O OO O
ON
N O N ON
O N O NN
O O RM RM
N N
N OOQT M RNU
N N
asymptequal


De la misma manera se procede para calcular S12:

Líneas de Transmisión y parámetros S

Ing. Hernando Silva Página 27 de 56

ç
ç
s
s swp p Is s s ~~
w ~
==
=
= ⇒ = ⋅ = ⋅
N
N NN
NO ON
O O O N MN M
O N M
RM
TR
M UNSR

Donde V1 y V2 representan las tensiones de salida y entrada en los puertos 1 y 2. El cociente entre V1 y V2
se halla resolviendo el divisor resistivo formado por R1 y la Zo1 conectada a la entrada para que a1=0.

ç ç
ç ç
s w wp I I
s w o w o
= ⇒ = ⋅
+ +
O N N
ON
N N N N N
M UNSR M RNUasymptequal

La matriz S queda de la siguiente forma:

[ ]p I  =   
M N
M RNU
N M


La matriz resultante indica que el circuito posee impedancias imagen igual a las Zok de los puertos a los
que se conecta el sistema y que el cuadripolo transmite la señal normalizada entre ambos puertos con un
factor de 0,518.


Balance de potencias

En circuitos pasivos como los analizados, la suma de las potencias salientes del dispositivo no puede ser
mayor que la suma de las entrantes, según las expresiones (4) y (5) el balance de potencias para dos
puertos puede ser expresado de la siguiente forma:

E FÄ Ä ~ ~+ ≤ +O O O ON O N O OM

Aplicando las definiciones (12) y (13) en (20):

E Fp ~ p ~ p ~ p ~ ~ ~+ + + ≤ +O O O ONN N NO O ON N OO O N O ON

La expresión (21) se cumple para todas las combinaciones de a1 y a2, si fijamos a1=1 y a2=0 (aplicando
señal solamente en sentido directo):

E Fp p+ ≤O ONN ON OON

Además si fijamos a1=0 y a2=1 (aplicando señal solamente en sentido inverso):

E Fp p+ ≤O ONO OO OPN

Las expresiones (22) y (23) demuestran que para sistemas pasivos, la ganancia de potencia representada
por la suma de los módulos de Skj al cuadrado en ambos sentidos, debe ser menor o igual a la unidad.
El término de S11 y S22 en ambas expresiones al cuadrado representa la fracción de la potencia incidente
que se refleja nuevamente hacia cada puerto (lo cual ya se observó en la expresión (8) donde la reflexión
de potencia estaba representada por el módulo de iΓ al cuadrado que siempre es menor o igual a uno para
cargas pasivas).
El término de S21 y S12 en ambas expresiones al cuadrado representa la fracción de potencia que se
transmite entre ambos puertos.

Líneas de Transmisión y parámetros S

Ing. Hernando Silva Página 28 de 56

Considerando nuevamente el circuito del ejemplo 1:

S11 = S22 = 0
S21 = S12 = 0,5

Aplicando (22) y (23):

( )
( )
I I
I I
p p
p p
+ = =
+ = =
O O O
NN ON
O O O
NO OO
M R M OR
M R M OR


Por lo tanto no hay potencia reflejada hacia los puertos del sistema y solamente el 25% de la potencia
incidente en un puerto se transmite hacia el opuesto, lo que significa que el circuito disipa el 75% de la
potencia incidente a los puertos. Expresando esta atenuación en dB:

[ ] ( )^ Ç_ äçÖ Ç_p= ⋅ =OONNNM S

Para el circuito del ejemplo 2:

p p= =NN OO N P
p p= =NO ON O P

Aplicando (22) y (23):

( ) ( )
( ) ( )
I I I
I I I
p p
p p
+ =
+ =
+ = + =
+ = + =
O OO O
NN ON
O OO O
NO OO
M NN M QQ M RR
M QQ M NN M RR
N O
P P
O N
P P


Se observa que el 11% de la potencia incidente al puerto es reflejada nuevamente hacia el sistema y el
44% de la potencia incidente en un puerto se transmite hacia el opuesto, lo que significa que el circuito
disipa el 45% de la potencia incidente a los puertos. Expresando en dB:

[ ] ( )mê Ç_ äçÖ I Ç_p= ⋅ ONNNNM V Sasymptequal
A este factor se lo suele denominar “Pérdida de Retorno” y es una medida de la adaptación de
impedancias entre el puerto y el dispositivo. Cuanto más grande el valor (en dB) mejor adaptado está el
puerto y menos potencia se refleja hacia el sistema. Finalmente calculamos la atenuación entre los puertos
(en la sección 2.3 se analizará en detalle el significado del valor de atenuación para un dispositivo de 2
puertos):
[ ] ( )^ Ç_ äçÖ I Ç_p= ⋅ OONNNM P Rasymptequal

Para el circuito del ejemplo 3:

S11 y S22 = 0
S21 = S12 = 0,518

Aplicando (22) y (23):

( )
( )
I I
I I
p p
p p
+ =
+ =
O O O
NN ON
O O O
NO OO
M RNU M OT
M RNU M OT
asymptequal
asymptequal

Líneas de Transmisión y parámetros S

Ing. Hernando Silva Página 29 de 56

Vemos que no hay potencia reflejada hacia los puertos (lo que significa que el circuito adapta
correctamente los dos puertos con distintas Zo), pero solamente el 27 % de la potencia incidente en un
puerto se transmite hacia el opuesto y el resto se disipa. Expresando esta atenuación en dB:

[ ] ( )^ Ç_ äçÖ I Ç_p= ⋅ =OONNNM R TN

En sistemas activos como amplificadores, los parámetros âàp pueden ser mayores a uno, lo que nos indica
que las potencias de las señales salientes son mayores que las de las señales entrantes, por lo tanto la
ganancia de potencia en una dirección del dispositivo estará dada por la expresión:

c E Fp p dé+ = ≥O ONN ON OQN

Como ya se explicó, p ONN representa la potencia reflejada por el puerto 1 nuevamente hacia el generador,
dicha potencia reflejada es un parámetro indeseable generalmente y se diseña para que S11 sea un valor lo
más pequeño posible que pueda despreciarse, entonces:

[ ] ( )c E Fdé Ç_ äçÖ p≅ ⋅ OON ORNM

En el sentido opuesto (si el elemento es bidireccional) aplicando (23):

o E Fp p dé+ = ≥O OOO NO OSN

Y si al igual que en (24) puede despreciarse p OOO en (26) entonces:

[ ] ( )o E Fdé Ç_ äçÖ p= ⋅ ONO OTNM


Parámetros T

La definición de los parámetros S considera como variables independientes a las ondas incidentes ak y
expresa las ondas reflejadas bk en función de las primeras, lo que permite modelizar al circuito con un
diagrama de flujo como el de la figura 10.

Para aplicaciones de dos puertos es de particular interés en ocasiones reacomodar los términos de manera
que las ondas del puerto de entrada sean función de las del puerto de salida. Las ecuaciones quedan
expresadas para dispositivos de dos puertos:

E FÄ q ~ q Ä= +N NN O NO O OU

E F~ q ~ q Ä= +N ON O OO O OV

O bien en notación matricial:

Ä q q ~
~ q q Ä
     
=          
N NN NO O
N ON OO O


Este nuevo juego de parámetros es conocido parámetros T o “Cascada”. Considerando dos dispositivos
conectados en cascada y la misma impedancia característica Zo:

Líneas de Transmisión y parámetros S

Ing. Hernando Silva Página 30 de 56








Según (28) y (29):

[ ]Ä ~q
~ Ä
   
=      
N O
N
N O
y [ ]ÄD ~Dq
~D ÄD
   
=      
N O
O
N O


Al estar conectados el puerto 2 del primer dispositivo al puerto uno del segundo a2 = b´1 y b2 = a´1 entonces
puede escribirse:

[ ][ ]Ä ~Dq q
~ ÄD
   
=      
N O
N O
N O


Por lo tanto la matriz de los parámetros T para la cascada es igual al producto de las matrices de los
dispositivos individuales. La denominación “cascada” se refiere a esta propiedad que permite calcular los
parámetros T de dispositivos conectados en cascada directamente por medio del producto de sus matrices
T. A su vez los parámetros T pueden definirse en función de los S. De la expresión (28) se puede
despejar:

Ä
Äq
~ =
=
N
NN
O O M


Con la condición que b2=0 (necesaria para calcular T11 por definición de los parámetros T) de (12) y (13)
se obtienen:
( )p Ä pÄ p ~ p ~ ó ~ J~ q Jp p p p J p p
p ~ p p
= + = ⇒ = = + =OO N OON NN N NO O N O NN NN NO ON NO NN OO
ON O ON ON
N

De la misma manera utilizando las definiciones de (28) y (29) y despejando mediante (12) y (13) se
procede para encontrar los otros parámetros T en función de los parámetros S. La matriz transformación
queda de la siguiente manera:

[ ] q q p p J=p p pq
q q J=pp
   
= =      
NN NO NO ON NN OO NN
ONON OO OO
N
N


También se calcula la matriz transformación de T a S la cual queda expresada de la siguiente forma:

[ ] q q q J q q =p
J=qq
 
=   
NO NN OO NO ON
OO ON
N
N


La desventaja de los parámetros T es que no se los puede representar por medio de un modelo de flujo de
señal como los S, pero cuando poseemos dispositivos en cascada el uso de los parámetros T simplifica
significativamente los cálculos además de ser relativamente fácil el pasaje de S a T y viceversa.




[T1] [T2]
a1
b1
b´2
a´2
b2 = a´1
a2 = b´1

Líneas de Transmisión y parámetros S

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2.2 – Relación con parámetros Z (impedancia) e Y (admitancia)

Según la ecuación (14) la tensión total en una carga conectada a una línea con impedancia característica
Zo está dada por:

( )ç E Fis w ~ Ä= +N N PM

Además por medio de (1) y (2) aplicadas a la expresión (29) de la sección 1.3 obtenemos el valor de
corriente total en dicha carga:

( ) E F
ç
i ~ Ä
w
f J= N N PNN

Multiplicando ambos términos de (31) por Zo:

( )ç ç E Fiw w ~ Äf J⋅ = N N PO

Sumando (30) y (32):

ç ç i ç i E F
ç
i is w ~ w ~ Es w
w
f f F⋅ ⋅+ = ⇒ = + PPNO
O


De forma análoga si restamos (30) y (32) podemos despejar:

i ç i E F
ç
Ä Es J=w
w
f F⋅= PQN
O


Las igualdades (33) y (34) pueden ser expandidas para n puertos utilizando notación matricial:

[ ] [ ] [ ]( )NJ Oå çå å çå å E F~ w s w f⋅= + PRNO

[ ] [ ] [ ]( )NJ Oå çå å çå å E FÄ w s =J=w f⋅= PSNO

Donde [Vn] e [In] son los vectores n x 1 de las tensiones y corrientes totales de los n puertos, [an] y [bn]
son los vectores n x 1 de las ondas de tensión incidentes y reflejadas a cada puerto. Zon corresponde a una
matriz diagonal n x n donde sus términos diagonales representan las impedancias características de cada
puerto y NJ Oçåw corresponde a una matriz diagonal n x n donde sus términos diagonales representan la
inversa de la raíz cuadrada de las impedancias características de cada puerto.
Además para dispositivos de n puertos:

[ ] [ ]å å E Fs w f= ⋅ PT

[ ] [ ]å å E Ff v s= ⋅ PU

Z e Y son las matrices n x n correspondientes a los parámetros Z e Y de dicho dispositivo.
Aplicando la ecuación (11.b) en (36):

[ ] [ ] [ ]( )NJ Oå çå å çå å E Fw s =J=wp ~ f⋅=⋅ PVNO

Líneas de Transmisión y parámetros S

Ing. Hernando Silva Página 32 de 56

Y por la igualdad (35) reemplazando [an]:

[ ] [ ]( ){ } [ ] [ ]( )N NJ JO Oçå å çå å çå å çå å E Fw s w w s =J=wp f f⋅ ⋅+ =⋅ QMN NO O

Reemplazando [Vn] por (37) en (40):

[ ] [ ]( ){ } [ ] [ ]( )N NJ JO Oçå å çå å çå å çå åw w w w w =J=wp f f f f⋅ ⋅⋅ + = ⋅⋅ N NO O

( ) [ ] ( ) [ ]N NJ JO Oçå çå å çå çå åw w w w w=J=wp f f⋅ ⋅+ =⋅

( ) ( )N NJ JO Oçå çå çå çå E Fw w w w w=J=wp + =⋅ QN

Despejando S:

( )( )N NJ JO O JNçå çå çå çåw w w=J=w w wp = +⋅

( )( )N NJ O O E FJNçå çå çå çåw w=J=w w w wp= ⋅ + ⋅ QO

La ecuación (42) describe las operaciones necesarias para calcular la matriz S de un dispositivo de n
puertos conociendo su matriz Z y la impedancia Zo de cada uno de dichos puertos. Si la impedancia de
todos los puertos es la misma entonces:

çå ç åñåw w f= ;
NJ Oçå åñå
çå
w f
w
=
N ; NOçå çå åñåw w f=

Donde I es la matriz unitaria o identidad.

También es posible encontrar una expresión inversa a (42) es decir conocer la matriz Z a partir de S y los
valores de Zo de cada uno de los puertos, haciendo la resta entre (35) y (36):

[ ] [ ] [ ]NJ Oå å çå çå å E F~ J= Ä w w f⋅= QP

Reemplazando (38) en (43):

[ ] [ ] [ ]NJ Oå å çå çå å~ J= Ä w w v s⋅= ⋅

Teniendo en cuenta que JNv w= entonces:

[ ] [ ] [ ]NJ O JNå å çå çå å E F~ J= Ä w w w s⋅= ⋅ QQ

La ecuación (30) puede reescribirse en notación matricial para n puertos de la siguiente forma:

[ ] [ ] [ ]( )NOå çå å å E Fs w ~ =H= Ä= QR

Reemplazando en (44):

[ ] [ ] [ ] [ ]( )N NJ O OJNå å çå çå çå å å~ J= Ä w w w w ~ =H= Ä⋅= ⋅

Líneas de Transmisión y parámetros S

Ing. Hernando Silva Página 33 de 56

[ ] [ ] [ ] [ ]( )N NO OJNå å çå çå å å E F~ J= Ä w w w ~ =H= Ä= ⋅ ⋅ QS

Ingresando (11.b) en (46):

( )[ ] ( )[ ]N NO OJNå çå çå åf J=p ~ w w w f p ~= ⋅ ⋅ ⋅ +

( ) ( )N NO OJNçå çåf J=p w w w f p= ⋅ ⋅ ⋅ +

Despejando JNw :

( )( )N JNJ O OJNJN çå çå E Fw w f J=p f p w= + QT

Por algebra de matrices se despeja la matriz Z:

( ) ( )N NO O E FJNçå çåw w f p f J=p w= + QU

La ecuación (48) describe las operaciones necesarias para calcular la matriz de los parámetros Z de un
dispositivo de n puertos conociendo su matriz de parámetros S y la impedancia Zo de cada uno de dichos
puertos.
Las expresiones (42) y (48) nos describen la relación existente entre las matrices S y Z, una vez conocidos
los valores de Z se puede calcular la matriz Y (siempre que la matriz Z sea inversible) ya que JNv w= .
Sin embargo existen casos donde si bien es posible calcular la matriz S, no es posible hallar la matriz Z.
Si consideramos nuevamente el circuito del ejemplo 2:






La matriz S de dicho circuito es:

[ ]p  =   
N ON
O NP


Si procedemos a utilizar la fórmula (48) para encontrar la matriz Z nos encontramos con lo siguiente

( ) ( )JNJf J=p f J=p
J
  = ⇒ ∃  
O O
P P
O O
P P


Por lo tanto al no ser invertible esta matriz no se puede calcular la matriz Z de dicho circuito.
Como se observa, este circuito no posee una matriz Z asociada, aunque si existe una matriz Y asociada al
mismo, la expresión (47) indica la forma de hallar dicha matriz teniendo en cuenta que JNv w= :

( )( )N JNJ O OJNçå çå E Fv w f J=p f p w= + QV

Aplicando (49) para este circuito:


R0

Líneas de Transmisión y parámetros S

Ing. Hernando Silva Página 34 de 56

( )J Jf p
J
 
+ =   
N O NN
N OO


( ) Jf J=p
J
 
=   
N NO
N NP


Finalmente:
( )( )N NJ JO OJ ç ççå çå
ç ç
ç ç
JJ J w wv w f J=p f p w
J J Jw w w w
          = + = ⋅ ⋅ ⋅ =                  
N
N NN M N N O N N MN O N N
M N N N N O M N N NP O


También es posible encontrar la expresión de la matriz S de un dispositivo de n puertos conociendo su
matriz de parámetros Y y la impedancia Zo de cada uno de dichos puertos. Aplicando la definición de (38)
en (40):

[ ] [ ]( ){ } [ ] [ ]( )N NJ JO Oçå å çå å çå å çå åw s w v w s =J=w vp s s⋅ ⋅+ ⋅ = ⋅⋅ N NO O

( )[ ]{ } ( )[ ]N NJ JO Oçå çå å çå çå åw f w v w f=J=w vp s s⋅ ⋅+ =⋅

Finalmente por algebra de matrices se despeja la matriz S:

( )( )N NJ O Oçå çå çå çå E Fw f=J=w v f w v wp ⋅ ⋅= + RM

Aplicando (50) al circuito del ejemplo 2:

( )ç ç
ç
J J
f w v w
J Jw
       
+ ⋅ = + ⋅ =              
N M N M N N O NN
M N M N N N N O


( )Jçf w v  + ⋅ =   
N O NN
N OP


( )ç ç
ç
J
f J w v J w
Jw
       
⋅ = ⋅ =              
N M N M N N M NN N
M N M N N N N MO


Finalmente:

( )( )N NJ O Oçå çå çå çå ç
ç
w f=J=w v f w v w w
w
p ⋅ ⋅          = + = ⋅ ⋅ ⋅ =                  
N M M N O N N M N ON N N
M N N M N O M N O NP P


Volviendo al circuito del ejemplo 1 correspondiente al atenuador de 6 dB, la matriz S de dicho circuito
estaba dada por:

[ ]p  =   
M NN
N MO


Aplicando (48) para este circuito:

Líneas de Transmisión y parámetros S

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( )
N
Of p
  + =   
N
N NO


( ) ( )JN
N NJ O Of J=p f J=p
N NJ O O
      = ⇒ =      
N NQ
PN N


Finalmente:
( )( )N NO OJNçå çå ç ç ç
N N
O Ow w f p f J=p w w w w
N
O
             = + = ⋅ ⋅ ⋅ =                
R QN NN M N MQ P P
M N N M N Q RPN NO P P


Para este circuito también podemos, utilizando (42), obtener la matriz S conociendo la matriz Z
correspondiente y como en este caso la matriz Z es invertible, podemos conocer la matriz Y rápidamente
con JNv w= .


2.3 – Diagramas de flujo

En la sección 2.1 se mostró que una carga conectada a una línea de transmisión podía ser representada por
el siguiente diagrama de flujo de señal







El coeficiente de reflexión de la carga iΓ relaciona la onda de tensión incidente “a” con la onda reflejada
“b” y está definido por:

i ç
i
i ç
w J=w
w w
Γ =
+


ZL y Zo son las impedancias de carga y característica de la línea respectivamente.
También se mostró que un dispositivo de dos puertos puede ser representado por el siguiente diagrama de
flujo de señal:







Los 4 parámetros S relacionan los valores de las ondas incidentes y reflejadas en ambos puertos.
Cuando se está en presencia de sistemas con varios dispositivos interconectados entre si o bien se trata de
elementos de varios puertos, encontrar los valores de las distintas señales involucradas por medio de la
resolución de las ecuaciones vistas en la sección anterior puede ser extremadamente complejo.
En general es conveniente representar dichos sistemas por medio de sus diagramas de flujos y aplicar
soluciones gráficas. Por ejemplo si se procede a conectar la carga iΓ al puerto 2 del dispositivo y la im-

a
b
iΓ
b1
b2
a2
S11 S22
S12
S21
a1

Líneas de Transmisión y parámetros S

Ing. Hernando Silva Página 36 de 56

pedancia característica de dicho puerto es igual a la Zo considerada en el cálculo de iΓ , el diagrama de
flujo total queda de la siguiente forma:







Suponiendo que el valor buscado es el coeficiente de reflexión equivalente que presenta el puerto 1
podemos reducir dicho diagrama por medio de las siguientes reglas gráficas:

Regla 1:

⇒

Regla 2:

⇒

Regla 3:

⇒




Regla 4:

⇒






Volviendo al diagrama de flujo de la figura 11:







Aplicando las reglas 1 y 4:








y aplicando las reglas 1 y 3:

b1
S11 S22
S12
S21
a1
iΓ
Sa Sb SaSb
Sb
Sa
Sa + Sb
Sa
Sb
Sa
1- Sb
Sa Sa
Sa
b1
S11 S22
S12
S21
a1
iΓ
Figura 11: diagrama de flujo de señal para un dispositivo de
2 puertos conectado a una carga
S11
iΓ S12
S21

ipΓ OO

Líneas de Transmisión y parámetros S

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Finalmente aplicando la regla 2:







En unos pocos pasos se obtiene el valor del coeficiente de reflexión de entrada para el conjunto sin
necesidad de resolver ecuaciones.
Además de las sencillas reglas presentadas existe otro método gráfico para resolver diagramas de flujo.
Dicho método es conocido como Regla de “Mason” y se expresa de la siguiente manera:

( ) ( )
( )
m J i i J m J i i J
o
J i i J
+ + + +
=
+
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
N N O O
N N O O N O
N
N O
N N
N
midhorizellipsis midhorizellipsis midhorizellipsis
midhorizellipsis


Donde:

R es la relación entre las señales de dos puntos o “nodos” del diagrama
P1 es un camino directo entre ambos puntos, P2 es otro camino directo.
i∑ N es la suma de todos los lazos de primer orden (los lazos de primer orden son caminos cerrados que
pueden recorrerse en el diagrama sin oponerse a la dirección del flujo de ningún segmento y sin atravesar
algún segmento más de una vez).
i∑N N es la suma de todos los lazos de primer orden que no tocan P1.
i∑O N es la suma de todos los lazos de primer orden que no tocan P2.

i∑ O es la suma de todos los lazos de segundo orden (los lazos de segundo orden son el producto de dos
lazos de primer orden que no se tocan)
i∑N O es la suma de todos los lazos de segundo orden que no tocan P1.
i∑O O es la suma de todos los lazos de segundo orden que no tocan P2.

Analizando el diagrama de la figura 11 y considerando que el valor que se busca es el coeficiente de
reflexión de entrada, es decir la relación entre b1 y a1 encontramos:
Äo
~
=
N
N

m p=N NN
im p p= ΓO NO ON
ii i p= = Γ∑ ∑NN N OO


S11
i
OO i
p p
J=p
Γ
Γ
NO ON
N


i
Éè
OO i
p pp
J=p
ΓΓ = +
Γ
NO ON
NN
N

a1
b1

Líneas de Transmisión y parámetros S

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Aplicando la expresión de Mason:

( )
( ) ( )
i i i
i i
p J p p pÄ p po p
~ J p J p
Γ + Γ Γ
= = = +
Γ Γ
NN OO ON NON ON NO
NN
N OO OO
N
N N


Si en el diagrama de flujo de la figura 11 procedemos a conectar un generador al puerto 1 el nuevo
diagrama toma la siguiente forma:




ÖΓ


El circuito de flujo equivalente del generador tiene la forma:



ÖΓ

Ö ç
Ö
Ö ç
w J=w
w w
Γ =
+
y
Ö ç
Ö E F
ç Ö
b w~
w w
=
+
O

La expresión (2) describe la magnitud de la onda de tensión saliente del generador (normalizada a çw
donde Zo es la impedancia característica del puerto 1) en función de la tensión de thevenin Eg del mismo y
ÖΓ su coeficiente de reflexión respecto a la Zo del puerto y a la impedancia Zg del mismo.
En la figura 12 se observa que el dispositivo está conectado entre la carga y el generador y las señales de
entrada y salida están representadas por aL y ag (onda saliente del generador respecto a la incidente a la
carga). Dicha relación puede calcularse rápidamente aplicando la regla de Mason de la siguiente manera:
i
Ö
~o
~
=
m p=N ON
m =O M
Ö i Ö ii p p p p=Γ +Γ +Γ Γ∑ N NN OO NO ON
Ö ii p p=Γ Γ∑ O NN OO
i =∑N N M

Aplicando (1):

( )
i
Ö Ö i Ö i Ö i
~ po
~ J p p p p p p
= =
Γ +Γ +Γ Γ +Γ Γ
ON
NN OO NO ON NN OON


Reacomodando términos:

( )( ) E FÖ i Ö i Ö i Ö i Ö i
p po
J p J p p p J p p J p J p J= p p
= =
Γ Γ + Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ
ON ON
P
NN OO NN OO NO ON NN OO NO ONN N N



S11 S22
S12
S21
iΓ
ag
ag aL
Figura 12: diagrama de flujo de señal para un dispositivo de
2 puertos conectando a un generador al puerto 1
y una carga al puerto2

Líneas de Transmisión y parámetros S

Ing. Hernando Silva Página 39 de 56

Si procedemos a conectar al generador directamente con la carga (quitando el dispositivo conectado entre
ambos) y asumimos que ambos puertos del sistema tienen la misma Zo , el diagrama de la figura 12
queda:



ÖΓ



De la figura 14 podemos despejar:

( )i Ö i Ö i Ö i Ö i~ ~ ~ ~ ~ J== + Γ Γ ⇒ = Γ ΓN

Entones la relación entre aL y ag queda expresada por:

i
E F
Ö Ö i
~o
~ J=
= =
Γ Γ
Q
N
N


La pérdida de inserción (suponiendo que el dispositivo es pasivo) se define como la variación de la señal
debido a la conexión del dispositivo entre el generador y la carga. Este valor se calcula haciendo el
cociente entre (4) y (3) quedando:

[ ]
( )( )
( )( )Ö i Ö iÖ i
áåÅ E F
Ö i
Ö i Ö i
J p J p J= p pJ=m Ç_ äçÖ p p J=
J p J p J= p p
    Γ Γ Γ ΓΓ Γ = ⋅ =     Γ Γ  Γ Γ Γ Γ 
NN OO NO ON
R
ON ON
NN OO NO ON
N
N NN
OM
N
N N

Si en la figura 12 se considera que ÖΓ y iΓ son nulos la expresión (5) se reduce a:

[ ] ííáåÅ E Fm Ç_ ^ äçÖ
p
 
= = ⋅    SON
NOM

La expresión (6) es conocida como la Atenuación del dispositivo, es decir que la atenuación se define
como la pérdida de inserción del mismo cuando sus puertos están cargados con las impedancias
características del sistema y se corresponde con la inversa del parámetro S21 expresado en dB.
Cuando se desea medir atenuación, el valor buscado es el definido por (6) que involucra solamente al
parámetro S21, pero como los valores de ÖΓ y iΓ no son nulos (esto representa un caso ideal) el valor que
se está midiendo es el definido por (5). Dicha expresión puede ser formulada de la siguiente manera:

[ ] [ ] [ ]ííáåÅ Ç_ Ç_ Ç_m ^ j= +

Es decir que está compuesta por la atenuación del dispositivo más un término M adicional debido a la
falta de adaptación o “Mismatch” de las impedancias conectadas a los puertos. Este término M se calcula
en dB haciendo la resta de la (5) y (6) quedando:

[ ] ( ) ( )Ö i Ö iáåÅ E Fíí
Ö i
J p J p J= p pmj Ç_ äçÖ
^ J=
 Γ Γ Γ Γ
= = ⋅   Γ Γ 
NN OO NO ON
T
N N
OM
N



iΓ
ag aL
Figura 14: diagrama de flujo de señal para generador
conectado diréctamente a una carga

Líneas de Transmisión y parámetros S

Ing. Hernando Silva Página 40 de 56

Conociendo el valor de los parámetros de (7) se puede calcular M y corregir para llegar al valor de
atenuación, pero en general en la inmensa mayoría de los casos no se dispone de la información de
módulo y fase de todos los parámetros involucrados. Frente a esto se aplican distintas soluciones al
problema:

1- Se observa que el término de error M [dB] por desadaptación de los puertos se minimiza cuando los
coeficientes ÖΓ y iΓ son minimizados. Este es el principio fundamental de los bancos patrones de
atenuación en alta frecuencia, los cuales están desarrollados para que los coeficientes de reflexión
presentados a los puertos del atenuador a medir sean lo más pequeños posibles, pudiendo de esta manera
despreciar el término M.
Un banco de atenuación típico se compone de un generador cuyo nivel de salida está nivelado y
controlado por un lazo adecuado, dicha señal es aplicada al puerto 1 de entrada del atenuador bajo prueba
o DBP y el puerto 2 de salida del DBP se conecta a un medidor de nivel.
La diferencia entre las relaciones de la onda incidente al puerto 1 ag y la medida a la salida del puerto 2 aL
midiendo primero sin el DBP insertado y luego insertando el mismo, define el valor de la atenuación de la
expresión (6) si se desprecian las reflexiones presentadas a los puertos.
Para minimizar los valores de ÖΓ y iΓ se insertan en el puerto 1 entre el generador y atenuador y en el
puerto 2 entre el atenuador y medidor, dispositivos conocidos como “Tuners”. Estos elementos poseen la
particularidad que sus parámetros S pueden modificarse por medio de circuitos sintonizados.
El diagrama de señal a la salida insertando un tuner entre el puerto 2 del DBP y el medidor (el mismo
concepto también se aplica para puerto 1 del lado del generador) toma la forma de la siguiente figura:








j′Γ

y, como ya se analizó para el diagrama de la figura 11, presenta hacia el DBP una impedancia
equivalente. Como resultado, el diagrama de flujo de señal equivalente presentado al DBP en ambos
puertos toma la forma:





Ö′Γ




Donde los coeficientes de reflexión equivalentes presentado por dicho circuito a la entrada y a la salida
son iguales a:

( )
í í
jí
j í
OO j
p pp
J=p
Γ
′Γ = +
Γ
NO ON
NN U
N


( )
í í
Öí
Ö í
OO Ö
p pp
J=p
Γ
′Γ = +
Γ
NO ON
NN V
N


bL
S11t S22t
S12t
S21t aL
jΓ S22 DUT
S11 S22
S12
S21
j′Γ
ag aL

Líneas de Transmisión y parámetros S

Ing. Hernando Silva Página 41 de 56
Los tuners poseen distintos ajustes mecánicos con escalas graduadas que permiten ajustar sus parámetros
S de manera que los coeficientes equivalentes se anulen, logrando según (8) y (9) las igualdades:

( )
í í
jí
í
OO j
p pp
J=p
Γ
=
Γ
NO ON
NN NM
N


( )
í í
Öí
í
OO Ö
p pp
J=p
Γ
=
Γ
NO ON
NN NN
N


Un método bastante usado para lograr el mínimo de los coeficientes de reflexión equivalentes es
inyectando una señal con un generador hacia el tuner6 y censando la onda reflejada por medio de un
acoplador direccional y medidor asociado, ajustando el tuner hasta que dicha señal se haga mínima, lo
que indica que el coeficiente equivalente es mínimo. Esta operación se realiza en ambos puertos y para
cada frecuencia de interés.

Una vez minimizados estos coeficientes, se puede medir la atenuación por medio de las mediciones de las
relaciones de ag y aL con y sin el DBP insertado al banco y el resultado final será el valor de atenuación
definido en (6) pudiendo despreciar el término de error M.


2- Para los casos donde no se minimizan los coeficientes jΓ y ÖΓ existen varias publicaciones que
utilizan la expresión (7) para estimar la incertidumbre introducida por dicha expresión al medir
atenuación. I.A Harris y F.L. Warner [10] demostraron que si se conoce el valor del módulo de los
términos de (7) y las fases de los mismos se asumen con una distribución de probabilidad uniforme en
±180°, el término M sigue una distribución de probabilidad que tiene un valor medio igual a uno y una
varianza relativa que puede estimarse en función de los módulos como sigue:

( )( )ã Ö i Ö i E FK p p p p= Γ ⋅ + Γ ⋅ Γ ⋅ + ⋅ + Γ ⋅σ O O O O O O O O ONN NO ON NN NOO N

En otro documento T. Guldbrandsen [11] demostró que si además de las fases también se desconoce el
valor de los módulos pero pueden definirse valores máximos posibles para los mismos (con una
distribución de probabilidad uniforme desde cero hasta el máximo) y las fases de los mismos se asumen
con una distribución de probabilidad uniforme en ±180°, M sigue una distribución de probabilidad que
tiene un valor medio igual a uno y una varianza relativa que puede estimarse en función de los módulos
como sigue:

( )( )ã Ö i Ö i E FK p p p p= Γ ⋅ + Γ ⋅ Γ ⋅ + ⋅ + Γ ⋅σ O O O O O O O O ONN NO ON NN NPN N
O


Por último hay que aclarar que al no estar minimizados los coeficientes de reflexión, en realidad se está
midiendo la Pinc de finida en (5) y asumiendo que dicho valor es el de la atenuación definida en (6)
cometiendo un error cuya incertidumbre es estimada por (12) o (13).

Otra aplicación interesante de diagramas de flujo es en la medición de la potencia de una fuente de señal
de alta frecuencia. El setup usualmente consiste en un sensor de potencia conectado directamente a dicha
fuente. El diagrama de flujo de esta configuración está descripto por la figura 14, donde el iΓ es el
coeficiente de reflexión del sensor de potencia y ÖΓ el de la fuente bajo prueba o DBP .
La onda de tensión incidente a dicho sensor se despeja de (4):


6 En los puertos de entrada y salida, además del tuner correspondiente, también se suele interconectar un dispositivo aislador o
“isolator” conectado al tuner del lado opuesto al DBP, lo cual permite ajustar el coeficiente de reflexión equivalente inyectando
una señal incidente al puerto y que dicha señal no llegue al medidor o al generador del banco. Además estos isolators ayudan a
minimizar los coeficientes equivalentes.

Líneas de Transmisión y parámetros S

Ing. Hernando Silva Página 42 de 56
Ö
i E F
Ö i
~~
J=
=
Γ Γ
NQ
N


La onda de tensión reflejada es igual a:

Ö i
i E F
Ö i
~Ä
J=
Γ
=
Γ Γ
NR
N


De las expresiones (4) y (5) de la sección 2.1 podemos calcular las potencias incidentes y reflejadas al
sensor:

i Ö
áåÅ E F
Ö i
~ ~m
J=
= = ⋅
Γ Γ
O O
NSO
N
O O N


i Ö i
êÉÑ E F
Ö i
Ä ~m
J=
Γ
= = ⋅
Γ Γ
O O O
NTOO O N



Por la tanto la potencia absorbida por el mismo es:

Ö i
~Äë áåÅ êÉÑ E F
Ö i
~ J=m m J=m
J=
Γ
= =
Γ Γ
O O
NUO
N
O N


El objetivo de la medición es conocer qué potencia proporciona el generador a una carga igual a la Zo del
sistema es decir con ÖΓ = M , dicha potencia se conoce como “potencia entregada” y corresponde a (18)
cuando ÖΓ = M es decir:

Ö
~Äë Öi E F
~m m= =
O
NV
O


Como ÖΓ ≠ M para el sensor de potencia, entonces el valor medido por el mismo no es el requerido que se
expresa en (19) sino el expresado en (18) por lo tanto, al igual que en la medición de atenuación, se debe
estimar la incertidumbre asociada al error debido a la falta de adaptación o “Mismatch” de la impedancia
del sensor de potencia.
En general el coeficiente de entrada del sensor de potencia es bien conocido en módulo y fase, por lo
tanto el término del numerador de la ecuación (18) iJ= Γ ON ya es corregido por el factor de calibración
del sensor de potencia7.
Respecto al término del denominador Ö iJ=Γ Γ ON el coeficiente de reflexión del generador es muy
dificultoso de medir y en la mayoría de los casos solo es posible conocer o estimar su módulo.
I.A Harris y F.L. Warner [10] demostraron que si se conoce el valor del módulo de ÖΓ (considerando el
módulo de iΓ conocido) y la fase se asume con una distribución de probabilidad uniforme en ±180°, el
término del denominador sigue una distribución de probabilidad que tiene un valor medio igual a uno y
una varianza relativa que puede estimarse en función de los módulos como sigue:

é Ö i E F= ⋅ Γ Γσ O O O OMO


7 Dichos factores se calculan durante la calibración del sensor debido a que sólo depende de las características propias del sensor
de potencia.

Líneas de Transmisión y parámetros S

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También se demuestra que si se desconoce el valor del módulo de ÖΓ (considerando el módulo de iΓ
conocido) pero puede definirse un valor máximo posible para el mismo (con una distribución de
probabilidad uniforme desde cero hasta el máximo) y las fases se asumen con una distribución de
probabilidad uniforme en ±180°, el término del denominador sigue una distribución de probabilidad que
tiene un valor medio igual a uno y una varianza relativa que puede estimarse en función de los módulos
como sigue:

é Ö i E F= Γ Γσ O O O ON


Por último T. Guldbrandsen [11] demostró que si se desconoce el valor de los módulos de ÖΓ y iΓ pero
pueden definirse valores máximos posibles para los mismos (con una distribución de probabilidad
uniforme desde cero hasta el máximo) y las fases se asumen con una distribución de probabilidad
uniforme en ±180°, el término del denominador sigue una distribución de probabilidad que tiene un valor
medio igual a uno y una varianza relativa que puede estimarse en función de los módulos como sigue:

Ö i
é E F
Γ Γ
=σ O
O O
OO
O



Según lo visto hasta ahora, la definición de los parámetros S y diagramas de flujo de señal para modelizar
a dispositivos de alta frecuencia es necesaria debido a que las líneas de transmisión involucradas poseen
componentes distribuidos y, como resultado, las tensiones y corrientes a lo largo de las mismas varían
(ver figuras 2 a 4 de la sección 1.3), por lo tanto no es posible considerar mallas con corriente constante o
nodos que permitan analizar dichos dispositivos mediante circuitos eléctricos con componentes
concentrados .
También se presentó el diagrama de flujo equivalente para un generador:



ÖΓ


Al mismo generador podemos describirlo mediante un circuito eléctrico equivalente utilizando el teorema
de thevenin. Dicho circuito toma la siguiente forma:









Comparando el diagrama de flujo y el circuito eléctrico equivalentes, observamos que guardan
similitudes. Ambos poseen un generador ideal (de tensión en un caso y de onda incidente en el otro) y un
término que representa las imperfecciones.
En el caso del equivalente eléctrico la impedancia Zg representa las caídas de tensión internas y dicha
magnitud debe ser lo más pequeña posible debido a que un generador de tensión debe entregar una
tensión constante en cualquier condición de carga.
En el caso del diagrama de flujo equivalente, el coeficiente ÖΓ representa las reflexiones de las ondas
incidentes al generador, esta magnitud debe ser lo más pequeña posible debido a que el generador debe
entregar una onda incidente constante para cualquier condición de carga. Teniendo en cuenta que:
ag
Eg
Zg

Líneas de Transmisión y parámetros S

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Ö ç
Ö
Ö ç
w J=w
w w
Γ =
+


Se observa que para que ÖΓ = M , Ö çw w= por lo tanto un generador con Öw = M es ideal para el modelo
eléctrico debido a que la tensión total de salida se mantiene constante, pero en el caso del diagrama de
flujos, el generador ideal debe tener una Ö çw w= debido a que no se considera la tensión total constante
sinó que la onda de tensión incidente es la que debe permanecer constante.
Al diagrama de flujo equivalente del generador también se lo denomina equivalente de “Thevenin” de
flujo de señal.
Si a dicho generador procedemos a conectarle una carga a su salida el circuito eléctrico resultante es de la
forma:









Se puede demostrar rápidamente que la tensión VL sobre la carga es igual a:

( )
i
i Ö
i ç
ws b
w w
=
+
OP

A su vez el diagrama de flujo señal resultante para este circuito es el del diagrama de la figura 14.



ÖΓ

Donde:
Ö ç
Ö
Ö ç
w J=w
w w
Γ =
+


y según (2):

Ö ç
Ö
ç Ö
b w~
w w
=
+


Además según (14):
Ö
i
Ö i
~~
J=
=
Γ ΓN


Aplicando (2) en (14):

( )( ) ( )
ç Ö
i
ç Ö Ö i
w b~
w w J=
=
+ Γ Γ
OQ
N


La expresión (24) indica el valor de la onda incidente aL sobre la carga para un generador cuya
emf es igual a Eg. Según (15) de la sección 2.1 la tensión total sobre la carga será igual a:

iΓ
ag aL
Eg ZL
Zg
VL

Líneas de Transmisión y parámetros S

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( ) ( )i ç i i i i ç is w ~ ~ ~ w= +Γ = +ΓN

Entonces:

( )
( ) ( ) ( )
ç Ö i
i
ç Ö Ö i
w bs
w w J=
+Γ
=
+ Γ Γ
OR
N
N


Reemplazando los coeficientes ÖΓ y iΓ por sus definiciones

i ç
i
i ç
w J=w
w w
Γ =
+
y Ö çÖ
Ö ç
w J=w
w w
Γ =
+


La expresión (25) queda:

( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
i ç
Ö ç
Ö ç i ç i ç Ö ii ç
i
Ö ç i ç ç Ö i ç Ö ç i ç i Ö
ç Ö
Ö ç i ç
w J=wb w b w w J=w w w b ww ws
w J=w w J=w w w w w J w J=w w J=w w ww w J=
w w w w
 +  + + + 
= = =
+ + +    + ⋅   +  +   
N O
ON


Finalmente:

( )
i
i Ö
i Ö
ws b
w w
=
+


Donde la tensión total es la misma que la deducida por el modelo eléctrico en (23).
Es interesante observar que en el modelo eléctrico la carga y el generador se encuentran conectados
directamente, es decir que no hay una línea de por medio con su Zo correspondiente, por lo tanto ¿Qué Zo
se considera para aplicar el modelo de flujo de señal a dicho sistema?
Se puede pensar que existe una línea que los interconecta y que posee una longitud eléctrica
ñ Çβ → = βM . Observando las figuras 2 a 4 de la sección 1.3, para una distancia eléctrica dβ desde la
carga hacia el generador, la tensión y la corriente totales a lo largo de esta línea hipotética mantienen los
valores que existen sobre la carga, entonces dichos niveles son los mismos en la carga y el generador (es
decir que dicha línea efectivamente se comporta como un nodo entre ambos). Finalmente podemos decir
que el valor de Zo de dicha línea hipotética es indistinto ya que al ser su longitud próxima a cero, para
cualquier Zo se cumple que los niveles de tensión y corriente son constantes por lo tanto se cumple (25)
para cualquier valor de Zo.
A medida que bajamos en frecuencia, las longitudes de onda se hacen cada vez mayores, lo que significa
que la longitud eléctrica de cualquier tramo de línea de cualquier Zo disminuye al disminuir la frecuencia,
es decir que con frecuencias lo suficientemente bajas ñβ → M , cualquier tramo de conexión8 puede ser
considerado un nodo.
Por lo tanto en los circuitos eléctricos de DC o baja frecuencia los dispositivos se interconectan por medio
de nodos y pueden ser analizados por medio de diagramas eléctricos con parámetros concentrados
utilizando la teoría electrotécnica y parámetros Z e Y midiendo tensiones y corrientes puntuales.

Como conclusión se puede afirmar que en cualquier frecuencia un sistema de tipo LTI puede ser
modelizado utilizando parámetros S y diagramas de flujo. En dicho caso deben medirse las ondas de
tensión y no tensiones o corrientes puntuales. Este tipo de medición es óptimo para trabajar en alta


8 Siempre y cuando dicho tramo no presente pérdidas o bien sea lo suficientemente corto y dichas pérdidas puedan
despreciarse. En dichos tramos existen las ondas incidente y reflejada, pero al ser la longitud eléctrica despreciable,
el resultado final es la suma de ambas que son las tensiones y corrientes totales del nodo (fig 2 a 4 de la sección 1.3).

Líneas de Transmisión y parámetros S

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frecuencia ya que según lo visto en las secciones anteriores, las ondas son la únicas magnitudes que se
consideran constantes en las líneas de transmisión (además de Zo si la línea es homogénea) y las
longitudes de onda son lo suficientemente cortas permitiendo utilizar dispositivos pequeños (acopladores,
conectores, detectores etc.) técnicamente factibles de diseñar y construir capaces de medir en forma
precisa las ondas incidentes y/o reflejadas.
Como contrapartida en frecuencias bajas, es sumamente dificultoso medir las ondas debido a que las
longitudes de onda son extremadamente largas por lo que es sumamente conveniente hacer mediciones de
tensiones y corrientes puntuales que por las razones analizadas son consideradas constantes en nodos y
mallas aplicando la teoría electrotécnica ampliamente difundida y estudiada.



ANEXO:

Vector Network Analyzer

1 - principio de funcionamiento

En las secciones anteriores se ha analizado y llegado a la conclusión de que las mediciones en sistemas de
alta frecuencia deben efectuarse basándose en las ondas de tensión incidentes y reflejadas debido a que
sus amplitudes son constantes y no dependen de la posición donde se efectúa la medición, además
permiten calcular directamente los parámetros del sistema.
También se ha mencionado que existen dispositivos desarrollados específicamente para tal fin. En las
últimas décadas se ha desarrollado y popularizado un instrumento conocido como “Analizador de Redes
Vectorial” o VNA por sus siglas en inglés cuya finalidad específica es la de medir las ondas de tensión
sobre elementos de uno o varios puertos (en general existen modelos para dos o cuatro puertos) en
Radiofrecuencias y microondas. El equipo tiene la capacidad de medir las ondas de tensión en módulo y
fase y en base a dichas mediciones por medio de procesamiento interno calcular los parámetros S del
dispositivo que se mide.
El esquema básico del instrumento para 2 puertos es el que sigue:



Figura 15: diagrama de funcionamiento de un VNA de 2 puertos y 4
canales

Líneas de Transmisión y parámetros S

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En dicho diagrama puede observarse una fuente de RF con una llave conmutadora a su salida que permite
derivar la señal a cualquiera de los dos puertos.

En cada uno de los puertos aparece un acoplador bidireccional (también conocido como reflectómetro),
dicho elemento es representado por la siguiente figura:



Este elemento es capaz de tomar una muestra de la onda de tensión que lo atraviesa entre los puertos de la
línea principal en un sentido (sentido de acoplamiento o “directo”) y enviarla hacia el puerto de salida,
rechazando la onda que lo atraviesa en sentido opuesto.
Para cuantificar esta propiedad se definen los factores conocidos como de acoplamiento de la siguiente
manera:





El factor de acoplamiento directo representa la potencia de salida del puerto acoplado respecto de la
potencia de la onda de tensión que viaja en sentido directo. El factor de acoplamiento inverso representa
la potencia de salida del puerto acoplado respecto de la potencia de la onda de tensión que viaja en
sentido inverso. La diferencia en [dB] entre ambos factores es conocida como “directividad” del
acoplador o la capacidad de acoplar la señal en un sentido rechazando la del sentido opuesto, dicho factor
debe ser lo mayor posible (en dB) para minimizar las interferencias entre las señales.
El diagrama de la figura 16 representa un acoplador en una sola dirección donde el sentido directo es de
izquierda a derecha de la imagen. Para un acoplador bidireccional existen dos puertos de salida donde
cada uno acopla en uno de los sentidos y rechaza el sentido opuesto. Por lo tanto los acopladores
bidireccionales de ambos puertos permiten tomar una muestra de las señales incidente a y reflejada b de
cada uno de los puertos (es decir que para un VNA de 2 puertos existen 4 receptores o “canales”
acoplados en forma simultánea).
Las señales de salida de dichos acopladores son transformadas a una frecuencia intermedia por medio de
conversores de frecuencia comandados por un oscilador local. Dichas señales en frecuencia intermedia
son filtradas, detectadas y procesadas obteniendo la información de módulo y fase de cada una de las
mismas.
El equipo realiza barridos en frecuencia variando la salida de sus osciladores, de esta manera se puede
caracterizar a los dispositivos en función de la frecuencia, presentando los resultados en un display
gráfico.





Figura 17: diagrama en bloques de la etapa de filtrado de FI y detección de las señales de los puertos
Figura 16: Diagrama equivalente del
acoplador direccional

Líneas de Transmisión y parámetros S

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En la figura 15 se observa que las señales que deben medirse para caracterizar al DUT son a1, b1, a2 y b2.
Para lograr este objetivo el instrumento por medio de los acopladores toma muestras de ambos puertos y
convierte dichas señales a FI resultando a0, b0, a3 y b3. Es decir que la medición de estas últimas señales
incluye a todos los dispositivos que se encuentran entre las entradas del DUT que es donde efectivamente
se quiere medir y la salida del conversor de FI, lo que significa que las señales procesadas no están
representando a las ondas incidentes y reflejadas al DUT sino al conjunto del DUT mas todos los
elementos entre el mismo y la salida del conversor (incluyendo cables, adaptadores y los mismos
acopladores y conversores). Por lo tanto no podemos considerar la medición final de a0, b0, a3 y b3 como
válida. Para corregir dicha medición final y encontrar los valores deseados, se debe obtener un modelo
completo del sistema que permita encontrar las correcciones necesarias para hallar a1, b1, a2 y b2.

En muchos instrumentos solamente existen 3 canales en forma simultánea, esto significa que es posible
medir las señales incidente y reflejada en el puerto conectado al generador y solamente la reflejada en el
puerto contrario. En este caso es necesario hacer una medición con el generador conectado a uno de los
puertos y luego repetir con el generador conectado al puerto contrario para poder caracterizar
completamente al sistema.





En la figura 18 se puede observar que la medición de la señal incidente se realiza mediante un divisor de
potencia en lugar de utilizar un acoplador bidireccional, aunque esto no modifica el principio de
funcionamiento del instrumento. Como resultado, para sistemas de 3 canales el modelo se divide en un
diagrama con la fuente de señal conectada a un puerto y en otro diagrama similar con la fuente conectada
en el puerto contrario.
Utilizando parámetros S y diagramas de flujo se llega al siguiente modelo equivalente:



Figura 19: Modelo de flujo de señal completo para mediciones en sentido directo
Figura 18: Analizadores de 3 receptores (ej. R&S ZVRE) vs. analizadores de 4 receptores (ej. R&S ZVR)

Líneas de Transmisión y parámetros S

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En la figura 19 se considera el sentido directo de circulación, es decir que el generador se encuentra
conectado al puerto 1 (observar que para este modelo el instrumento dispone solo de un detector de señal
en el puerto 2). En estas condiciones puede medirse la reflexión en el puerto 1 y la transmisión hacia el 2.
Cuando se invierte la llave y el generador queda conectado al puerto 2 el diagrama de flujo es similar pero
en sentido contrario.


En dicho modelo equivalente se observa que están considerados 2 juegos de parámetros S en cada uno de
los puertos atribuidos a las imperfecciones de los cables de conexión y adaptadores asociados, A es
alinealidad de los detectores, NH es ruido de alto nivel, NL es ruido de bajo nivel, M son los factores de
desadaptación, L representan las pérdidas (en el caso de La0-b3 pérdida de aislación y en el caso de los
términos en rojo se trata de pérdidas por directividad finita). Para el sentido inverso el diagrama es el
mismo pero intercambiando los puertos de entrada y salida.
Este modelo completo presenta múltiples términos de errores aleatorios incluyendo ruidos y alinealidades
que no pueden ser corregidos (luego formarán parte de las fuentes de incertidumbre de las mediciones).
Partiendo de este modelo y excluyendo estos términos puede obtenerse un modelo más general de errores
sistemáticos en sentido directo:





Los parámetros del modelo de la figura 20 guardan las siguientes relaciones con los de la figura 19 (sin
considerar los términos que no se corrigen):






Figura 20: Modelo de errores sistemáticos para mediciones en sentido directo

Líneas de Transmisión y parámetros S

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Dicho modelo de errores sistemáticos posee un total de 6 términos de error y teniendo en cuenta que
existe un modelo equivalente para el sentido opuesto, entonces el modelo completo está compuesto por
12 términos de error. Los diagramas de bloques de errores para directa y para inversa son:






Los diagramas de flujo de señal para este modelo suelen utilizar una notación distinta:


Figura 21: Diagrama en bloques del modelo de errores sistemáticos de 12 términos en directa e inversa
Figura 22: Diagrama de flujo del modelo de errores sistemáticos de 12 términos en directa e inversa

Líneas de Transmisión y parámetros S

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En dicha notación los términos de error se identifican por sus subíndices. El segundo subíndice indica si
se trata del modelo para señal en sentido directo (F, del inglés Forward) o inverso (R, por Reverse). El
primer subíndice indica la fuente de error, del siguiente modo:

• D: directividad finita (de los dispositivos de separación de señal –acopladores y puentes)
• S: desadaptación del puerto fuente
• L: desadaptación del puerto que actúa como carga (Refiriéndonos a la salida del DUT- es el
puerto 2 en sentido directo y el 1 en inverso)
• R: "tracking" de reflexión o planicidad entre el receptor de la onda incidente y el receptor de la
señal reflejada
• T: "tracking" de transmisión o planicidad entre el receptor de la onda incidente y el receptor de la
señal transmitida
• X: pérdida de señal de un puerto al otro del reflectómetro, sin pasar por el DUT, también
conocida como "crosstalk"
Una vez planteado el modelo de errores, es necesario cuantificar cada uno de sus términos lo que
permitirá despejar los parámetros S del DUT en función de las mediciones del instrumento. Para cumplir
con este objetivo deben realizarse una serie de mediciones preliminares a la medición del DUT con una
serie de elementos “patrones” que permiten despejar en forma individual cada uno de los términos.
Considerando solamente al puerto 1 el diagrama de flujo queda:



Donde aplicando las reglas vistas en la sección 2.3:

( )
ç oc i
ã ac
ç pc i
Ä bp b
~ J==b
Γ
= = +
Γ
NN N
N


En dicho diagrama aparecen 3 términos de error, por lo tanto son necesarias al menos 3 mediciones para
poder despejar dichos términos.
Si se conecta una carga con iΓ = M el segundo término de la expresión (1) se anula quedando ã acp b=NN ,
por lo tanto midiendo de S11 con la carga conectada estamos en condiciones de cuantificar el valor de EDF.
Seguidamente se hacen 2 mediciones, una conectando un cortocircuito es decir i JΓ = N y otra con un
circuito abierto es decir iΓ = N. De las últimas dos mediciones resulta el siguiente sistema de ecuaciones:

( )( )oc pc ãÅÅ acb J==b p J b= NNN
( )( )oc pc ac ãÅ~b H=b b J p= NNN

Los valores de S11m (medición) y EDF ya se conocen por lo tanto de este sistema puede despejarse ESF y
ERF.
Para caracterizar al puerto se utilizaron una carga adaptada (Match) un cortocircuito (Short) y un circuito
abierto (Open) por lo tanto este método es comúnmente conocido como OSM. El mismo método se
utiliza para cuantificar los componentes del otro puerto del instrumento.
Una vez conocidos los parámetros del modelo para cada uno de los puertos por separado, se procede a
conectar directamente ambos puertos del instrumento, entonces el diagrama de flujo en directa queda de
la siguiente manera:

Líneas de Transmisión y parámetros S

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Conociendo los valores de los parámetros EDF ESF y ERF del modelo en el puerto 1 y midiendo las
relaciones entre a0, b0 y b3 estamos en condiciones de despejar ETF y ELF. El término que representa a la
aislación entre puertos EXF y EXR se obtienen haciendo mediciones específicas sin necesidad de utilizar
elementos patrones. De la misma manera se procede para despejar los valores de ETR y ELR conociendo
los parámetros EDR ESR y ERR y aplicando el diagrama de flujo en inversa.
En resumen, utilizando la calibración OSM aplicada a cada una de los puertos y haciendo la interconexión
de los mismos también conocida como “Thru" se determinan todos los componentes del modelo, dicha
calibración es conocida comúnmente como TOSM (Thru, Open, Short, Match) o a veces también como
SOLT (Short, Open, Load, Thru).
Ahora ya determinados todos los componentes del modelo, es posible encontrar los valores de los
parámetros S del DUT en función de las mediciones de a0, b0, a3 y b3.
Por medio de la regla de Mason (descripta en la sección 2.3) aplicada a los diagramas de flujo en directa e
inversa del modelo de 12 términos de la figura 22, es posible despejar las relaciones entre los parámetros
a0, b0, a3 y b3 donde:
ç
j
ç
Äp
~
=NN , j
ç
Äp
~
=
P
ON , j Äp
~
=
P
OO
P
, çj Äp
~
=NO
P


Estos parámetros son a su vez medidos por el instrumento, por lo tanto pueden despejarse los parámetros
S “reales” del DUT en función de las mediciones actuales y de los términos de error del modelo.
A modo de ejemplo a continuación se presenta la fórmula final para despejar el S11 del DUT 9:


Donde D es igual a:



Se observa que el parámetro corregido del DUT es función de los términos de error y también de los
parámetros medidos sin corregir.
Según lo visto el método TOSM utiliza elementos físicos que simulan magnitudes ideales (carga
adaptada, abierto o cortocircuito) necesarios par poder calcular los valores del modelo. Un VNA tiene la
funcionalidad de poder definir mediante juegos de coeficientes cargados en su memoria interna las
propiedades reales de cada uno de los elementos y luego aplica dichas correcciones cuando se realiza la
medición preeliminar correspondiente.
Cuando se trabaja en sistemas no coaxiales o en sistemas con conectores especiales, en general es muy
dificultoso sintetizar o bien no se disponen de kits con los elementos utilizados en la calibración TOSM lo
que no permite su utilización.

9 En [12] se hace una descripción detallada de los resultados para los cuatro parámetros del DUT

Líneas de Transmisión y parámetros S

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En esos casos existe otro modelo de errores sistemáticos que no utiliza estos elementos pero para
implementar este modelo es necesario que el VNA disponga de cuatro canales simultáneos. El diagrama
de flujo para dicho modelo es el que sigue:






En la figura 23 se observa que están condensados todos los términos de error de cada puerto en una caja
con cuatro términos que representan los parámetros S de cada “caja” de errores y los términos que
representan al "crosstalk" se consideran nulos. Al ser implementado en un VNA de 2 puertos, van a
existir entonces 8 términos de error (4 por cada puerto) que es también como se conoce a este método.





A diferencia del modelo de 12 términos en este caso se debe disponer de un VNA de cuatro canales, por
lo tanto es posible caracterizar directamente todo el sistema y no es necesario un diagrama en directa y
otro en inversa como en el modelo anterior.
Este modelo de 8 términos se puede representar, basándose en la figura 23, en forma matricial de la
siguiente manera:

ã ~ ÇÄé Äq q q q= ⋅ ⋅

Donde:
Tm es la matriz de de los parámetros T medidos por el VNA
Ta es la matriz de los parámetros T de los términos de error del puerto 1
Tb es la matriz de los parámetros T de los términos de error del puerto 2
Tdbp es la matriz de los parámetros T del DUT que queremos medir

Es importante recordar que este juego de parámetros T es óptimo para trabajar sobre este tipo de sistemas
en cascada y que su relación con los parámetros S es la siguiente:


Figura 24: Diagrama en bloques del modelo de errores sistemáticos de 8 términos.
Figura 23: Diagrama de flujo del modelo de errores sistemáticos de 8 términos en directa e inversa

Líneas de Transmisión y parámetros S

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[ ] q q p p J=p p pq
q q J=pp
   
= =      
NN NO NO ON NN OO NN
ONON OO OO
N
N


Y a su vez la relación inversa:

[ ] q q q J q q =p
J=qq
 
=   
NO NN OO NO ON
OO ON
N
N


Ambas conversiones indican que el equipo midiendo los parámetros S puede calcular la matriz T, hacer el
procesamiento de los datos utilizando las matrices T (simplificando significativamente de esta manera los
cálculos) y luego volver a expresar los resultados en función de los parámetros S.
Aplicando estas conversiones a las cajas de error de ambos puertos, sus matrices T quedan expresadas en
función de sus términos de error de la siguiente manera:

~
J ~ É
q
ÉÉ
~ É É J É É
∆ 
=   
∆ =
MM
NM NN
MM NN NM MN
N
N

Ä
J Ä É
q
ÉÉ
Ä É É J É É
∆ 
=   
∆ =
OO
PO PP
OO PP PO OP
N
N

Por lo tanto:

ã ÇÄé
J ~ É J Ä É
q q
É ÉÉ É
∆ ∆   
= ⋅ ⋅      
MM OO
NM PO NN PP
N
N N

En este modelo para poder cuantificar los términos de error, también es necesario realizar mediciones
preeliminares, pero la diferencia con el modelo TOSM es que se utilizan dispositivos para tal fin que no
incluyen carga, circuito abierto o cortocircuito.
Existe una variedad de combinaciones de mediciones que pueden aplicarse para resolver dicho modelo, la
más utilizada es la que incluye las siguientes 3:

- Una medición interconectando ambos puertos en forma directa (haciendo un “Thru”) entre ambos, de
dicha medición obtenemos:

ãíÜ ~ íÜ Äq q q q= ⋅ ⋅

Donde:

íÜ íÜp q   = ⇒ =      
M N N M
N M M N


- Una medición conectando entre ambos puertos una línea de aire patrón, de dicha medición obtenemos:

ãi ~ i Äq q q q= ⋅ ⋅

Líneas de Transmisión y parámetros S

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Donde si consideramos que la línea es ideal de longitud L (sus coeficientes de reflexión de entrada y
salida son nulos y no presenta pérdidas):

J i J i
i íÜJ i i
É Ép q
É É
γ γ
γ γ
   
= ⇒ =      
M M
M M


Como la línea patrón utilizada no es ideal, su matriz T no será como la descripta, por lo tanto debe
introducirse la matriz resultante de considerar las imperfecciones de la línea. En [16] se detallan los
métodos para obtener dicha matriz.
Esta línea patrón debe tener una longitud L que no difiera de la del Thru en un múltiplo entero de media
onda (de lo contrario se produciría una singularidad en el modelo). La diferencia de fase recomendable es
entonces de entre 20° y 160°. Esto limita el rango de frecuencias a ciertas bandas permitidas, por eso
generalmente se proveen kits TRL con varias líneas patrón cuyas bandas permitidas se solapan y de esta
forma puede cubrirse todo el rango deseado.

- La última medición que debe realizarse es conectar una carga desadaptada también llamada “Reflect” en
ambos puertos. La función de esta medición es resolver algunas indeterminaciones en las ecuaciones del
modelo. No es necesario conocer el valor exacto del elemento Reflect, pero debe presentar un alto
coeficiente de reflexión y también debe conocerse su signo (es decir, si se aproxima a un cortocircuito o
a un circuito abierto).

Una vez efectuada estas 3 mediciones, se dispone de los datos suficientes para despejar todos los
componentes de error del modelo. Esta calibración es comúnmente conocida como TRL por las siglas de
los patrones que utiliza para su resolución (Thru, Reflect, Line). El desarrollo matemático completo del
modelo TRL se encuentra en el trabajo citado en [15].
Habitualmente el método TRL es considerado el más exacto, debido a que utiliza como patrón principal a
la línea de aire y como se ha analizado en secciones anteriores, este dispositivo se adopta como el patrón
de referencia en impedancia Zo y longitud eléctrica en RF y microondas. La desventaja es que justamente
al ser un patrón de referencia, su utilización requiere de cuidados extremos y debe ser restringida todo lo
posible.
La mayoría de los laboratorios de metrología en alta frecuencia dispone de al menos un VNA de 4 canales
y kits de calibración TRL y TOSM, por lo que el método TRL se aplica solamente para mediciones de
referencia o especiales y el método TOSM se utiliza para efectuar las mediciones cotidianas en sistemas
con conectores comunes.
Una práctica habitual es la de realizar una calibración periódica de los elementos “patrones” del kit
TOSM (es decir determinar el valor de los coeficientes que los caracterizan) midiendo sus parámetros con
el VNA “calibrado” mediante el método TRL, por lo tanto partiendo del patrón de referencia, mediante el
método TRL se transfiere su “trazabilidad” hacia el kit TOSM y luego a todas las mediciones efectuadas
con este método.




Referencias:

1. D.K. Cheng “Fundamentals of Engineering Electromagnetics”, Addison-Wesley Publishing
Company, 1993.

2. H.H. Skilling “Fundamentals of Electric Waves”, John Wiley & Sons, 1958.

3. J.A. Stratton, “Electromagnetic Theory”, McGraw – Hill, 1941.

4. Richard Collier “Transmission Lines-Basic Principles”, 14TH IEE Microwave Measurements Training
Course, National Physical Laboratory, Teddington-UK, mayo 2005.

Líneas de Transmisión y parámetros S

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5. W.C. Daywitt “First-order symmetric modes for a slightly lossy coaxial line”, IEEE Transactions on
Microwave Theory and Techniques, Vol. 38 no.11, noviembre 1990.

6. G. F. Engen “Microwave circuit Theory and foundations of microwave metrology”, IEE Electrical
measurements series 9, Peter Peregrinus Ltd., 1992.

7. Nick Ridler “Connectors, Airlines and RF Impedance”, 14TH IEE Microwave Measurements Training
Course, National Physical Laboratory, Teddington-UK, mayo 2005.

8. Alan Coster, Dowding & Mills “Attenuation Measurements”, 14TH IEE Microwave Measurements
Training Course, National Physical Laboratory, Teddington-UK, mayo 2005.

9. Application Note 64-1C “Fundamentals of RF and Microwave Power Measurements”, Agilent
Technologies, abril 2001.

10. I.A. Harris and F.L. Warner “Re-examination of mismatch uncertainty when measuring microwave
power and attenuation”, IEE Proc, 128, Pt H, pp 35-41, febrero 1981.

11. T. Guldbrandsen “Uncertainty contributions from mismatch in microwave measurements”, IEE Proc.-
microw. Antennas Propag., Vol. 148 no.6, Diciembre 2001.

12. D. Rytting, "Network Analyzer Error Models and Calibration Methods", curso Agilent Technologies,
abril 2002.

13. Martin Salter “One-port ANA models”, One day course on “Evaluating the uncertainty of
measurements for vector automatic network analysers”, National Physical Laboratory, Teddington-
UK, septiembre 2001.

14. Martin Salter “Two-port ANA models”, One day course on “Evaluating the uncertainty of
measurements for vector automatic network analysers”, National Physical Laboratory, Teddington-
UK, septiembre 2001.

15. G. F. Engen, C. A. Hoer, "«Thru-Reflect-Line»: An Improved Technique for Calibrating the Dual
Six-Port Automatic Network Analyzer", IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques,
vol. MTT-27, no 12, diciembre 1979.

16. I.G. Ruiz, S.P. Corral “Establishment of the mexican national standard for RF and microwave
scattering (s-) parameters”, Simposio de Metrología 2004, Centro Nacional de Metrología (CENAM)
– Querétaro, Octubre 2004.